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江西省南昌市2025-2026学年高三上学期9月开学考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1 设复数z满足，则（ ）
A. B. 2 C. D. 1
2. 已知，，，则（ ）
A. B. 4 C. 1 D.
3. 已知函数，则下列选项中是一个单调递增区间的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
6. 已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ）
A. 4 B. 3 C. D.
7. 已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名依次是（ ）
A. 丙、甲、丁、乙 B. 丙、甲、乙、丁 C. 甲、乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁、丙
8. ，已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为
C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2
10. 某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从某地区随机抽取了500名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50），[50，60），……，[90，100]分组整理得知如下方频率分布直方图，记该样本的平均数为，三个四分位数分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. a，b，c成等差数列 D.
11. 已知函数，则以下说法正确的是（ ）
A. 有对称中心 B. 有对称轴
C. 的极小值为 D.
三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则＝______．
13. 如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为______．
14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______．
四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
15. 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积．
16 已知正项数列满足．
（1）若是等比数列，求的通项公式；
（2）若，求数列前2n项的和．
17. 中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）．
（1）求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；
（2）在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望；
（3）第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值．
18. 已知f（x）＝（a＞0）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若a＞2，求证：f（x）有且仅有三个不同的零点．
19. 如图，球O半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形．
（1）若C是OQ的中点．
（i）求六棱锥的体积；
（ii）求二面角的余弦值；
（2）设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值．

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