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云南省德宏州2025-2026学年高三上学期开学定位监测数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量．则向量在向量上的投影向量为（ ）
A B. C. D. 7
5. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
A. B. C. 2 D. 3
6. 在的展开式中，常数项为（　　）
A. B.
C. 6 D. 12
7. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 过直线l：上一点P作圆M：两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）．
A.
B. 当时，的最小值是3
C. 若，则的最小值为
D. 设，且，则的最小值是
10. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）．
A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴
C. D. 在上单调递增
11. 如图，正方体棱长为1，是的中点，则（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为
D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，13题第一空2分，第二空3分．
12. 已知，则________．
13. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的平均数为________，方差为________．
14. 已知函数的定义域为，是的导函数，，若对任意的，有，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：.
16. 某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示：
（1）求值；
（2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值；
（3）若采用分层按比例抽样方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的外接球的体积；
（3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
18. 设数列的前n项和为．已知，．
（1）求的值；
（2）求证：为等差数列；
（3）证明：对一切正整数n，有．
19. 已知曲线，点在曲线上．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）如图1，过曲线外一点（不在轴上）作的两条切线，切点为，在曲线上一点处的切线交于点，且，把这样的叫做“外切三角形”．
①连接交于点，证明：三点的纵坐标成等差数列；
②如图2，从点出发作出的第一个外切三角形是，再过点分别作出2个外切三角形，即和；继续过点分别作出4个外切三角形以此类推，依次作出个外切三角形．设的面积为，求这些“外切三角形”的面积之和，并判断与的大小关系．
参考答案
1-8.ABBAD CDC 9-11.BD ACD ABD
12.
13.4；5
14.
15.
16.
17.
18.
19.
【小问 1 详解】

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