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北京市延庆区2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一 选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
A. B. C. D.
2. 如果，那么（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，则值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
5. 已知，则下列大小关系不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数有2个极值点
B. ，使得恒成立
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在区间上没有零点
7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 某水域每立方米中微生物含量约为，另一水域每立方米中同种微生物含量约为.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. 0.3 B. 10 C. D.
10. 已知函数，若存在，使得，则的最大值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第二部分（非选择题共110分）
二 填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是___________.
12. 已知函数，则其零点为__________，__________.
13. 写出使得命题“”是假命题的一个实数的值__________.
14. 已知函数，当时，函数的单调递增区间为__________；若函数的最大值为2，则的取值范围是__________.
15 已知函数，对于实数，已知，设.给出下列四个结论：
①；
②当时，有；
③当时，有；
④当时，有.
其中所有正确结论的序号是__________.
三 解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间及极值；
（3）直接写出函数的值域，不要求计算过程.
17. 已知函数，从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：是奇函数；
条件③：是一个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持 技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲 乙 丙 丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表：
公司 甲 乙 丙 丁
机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 16% 2.4% 2.8%
（1）从表中提供机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率；
（2）从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？（结论不要求证明）
19. 如图所示，公园里有一块边长为2的等边三角形草坪（记为），计划沿图中线段铺设灌溉水管，在上，在上，设.
（1）若，求的面积；
（2）若图中把草坪分成面积相等的两部分，求关于的函数关系及的最小值.
20. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线；
（3）若函数存在极值，求的取值范围.
21. 已知数列，定义：.从中选取第项 第项 第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质.
（1）已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值；
（2）已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值；
（3）已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数.
参考答案
1-10. BADAB BCCDC
11.
12.
13.
14.
15.①②③④
16.【小问 1 详解】
17.
18.
19.
20.
21.

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