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2025-2026学年广西来宾高级中学高二（上）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知中，内角，，的对边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是( )
A. 三棱锥
B. 三棱台
C. 四棱锥
D. 三棱柱
4.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，甲、乙两人同时获奖的概率为，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为( )
A. B. C. D.
5.若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于”，“点数大于”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是( )
A. ，为互斥事件 B. ，为对立事件
C. ，为互斥事件 D. ，为对立事件
7.重庆八中高一数学兴趣小组计划测量学校钟塔的高度，选取与塔底在同一水平面内的两个基测点与现测得，，米，在点测得钟塔顶的仰角，则该钟塔的高度( )
A.
B.
C.
D.
8.在，点是中线上一点不包含端点，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.春节假期，甲、乙两店一周的蔬菜销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 甲店数据的极差小于乙店数据的极差
B. 甲店在每天的销售量越来越大
C. 甲店数据的中位数大于乙店数据的中位数
D. 若甲、乙两店数据的标准差分别为，，则
11.如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积不变
B. 直线与直线的所成角的取值范围为
C. 直线与平面所成角的大小不变
D. 二面角的大小不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某工厂生产了、、三种不同型号的产品，数量之比为：：，现采用分层抽样的方法抽取个产品进行分析，已知型号产品抽取了个，则型号产品被抽取的数量是______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，且则的值为______．
14.如图，在一个底面边长为，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，．
求与；
求：；在方向上的投影数量．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，是边上的高，且，求的面积．
17.本小题分
某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，福佑崇文阁赵老师从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图
求频率分布直方图中的值及样本成绩的第百分位数；
以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次竞赛成绩的众数和平均分；
已知落在区间的样本平均成绩是，方差是，落在区间的样本平均成绩为，方差是，求两组样本成绩合并后的平均数和方差．
18.本小题分
一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的个小球，其中个红球，个白球，设计了两个摸球游戏，其规则如表所示：
游戏 游戏
摸球方式 不放回依次摸球 有放回依次摸球
获胜规则 若摸出个红球，则甲获胜，否则乙获胜
写出游戏与游戏的样本空间，并分别求出在游戏与游戏中甲获胜的概率；
甲与乙两人玩游戏，约定每局胜利的人得分，否则得分，先得到分的人获得比赛胜利，则游戏结束每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点．
证明：平面；
证明：平面平面；
若，二面角的大小为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以，
因为，，所以，解得，
所以，
又因为，所以；
由知，
所以；
因为，且，
所以在方向上的投影数量为．
16.解：因为，
由余弦定理得，
又因为，所以．
因为是边上的高，且，
在直角中，，
又因为，可得，
所以的面积．
17.根据题意可得，解得；
成绩在的频率为，成绩在的频率为，
所以第百分位数在之间，且为；
估计此地本次竞赛成绩的众数为分；
估计此地本次竞赛成绩的平均数；
由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个，
又落在区间的样本平均成绩是，方差是，落在区间的样本平均成绩为，方差是，
所以两组样本成绩合并后的平均数为，
所以两组样本成绩合并后的方差为：
．
18.根据题意，记三个红球为，，，记白球为，用表示两次摸球的情况，
记游戏与游戏的样本空间分别为，
，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，
记“在游戏中甲获胜”，记“在游戏中甲获胜”，
在游戏中甲获胜，即甲摸出个红球，
则，，，，，，
故，
在游戏中甲获胜，即甲摸出个红球，
则，，，，，，，，，
故，
根据题意，记“甲获得第局游戏胜利”，，，，记“甲获得比赛胜利”
由，，
．
19.证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
证明：因为，为的中点，所以，
因为，，所以，
又，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
因为，，
所以为二面角的平面角，
则，
由题意知，，，
在中，，
所以，
可得，
在直角中，，
又因为，，，
所以，所以，
即，
因为为的中点，
所以．
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