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2024-2025学年贵州省安顺市普定一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
2.已知是等比数列，，，则公比等于( )
A. B. C. D.
3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，那么的一个充分条件是( )
A. ，，且，
B. ，，且
C. ，，且
D. ，，且
5.已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数等于( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是( )
A. 的周长为 B. 椭圆的离心率为
C. 的长为 D. 的面积为
10.已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 当时， D. 当时，
11.关于函数，下列结论正确的是( )
A. 函数的定义域为 B. 函数在上单调递增
C. 函数的最小值为，没有最大值 D. 函数的极小值点为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则______．
13.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围为______．
14.设直线和圆相交于点、，则弦的长度是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知，．
求函数的最小值；
若存在，使成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点．
求证：；
求直线与平面所成的角的大小结果用反三角表示
18.本小题分
已知点，直线：．
求点关于点对称点的坐标；
求点关于直线的对称点的坐标；
已知点，点在直线上，问使取得最小值时点的坐标与使取得最小值时点的坐标是否相同？请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的长轴长为，且经过点椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，且的离心率与的离心率相等，的短轴长与的长轴长相等．
求椭圆与的标准方程．
若为上的点，过点作的切线，设切点分别为，，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
若异于的左、右顶点，为椭圆上的点，直线与交于点，，直线与交于点，，求的值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.．
14.
15.解：由，
得，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
由知，
则，
，
与两式相减得
，
故．
16.解：函数的定义域为，
，令，解得，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增；
故当时，函数取得极小值即最小值为．
存在，使成立，
即在成立
在成立，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增．
当时，取得最小值，
因此，
17.
18.解：点关于点对称点可知，为，的中点，
所以解得，，
所以的坐标；
设的坐标，
由题意可得，解得，，
所以的坐标；
不同
理由如下：
证明：设，
则，
显然时，最小，且为，此时；
因为，当且仅当，，三点共线时，取到最小值，
则为与直线的交点，
直线的方程为：，
所以，解得：，，
此时，
所以两个点的坐标不同．
19.解：对椭圆：因为椭圆长轴长为，所以，
又椭圆过点，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为：，且离心率；
对椭圆：，
由，可得，
所以椭圆的标准方程为：；
如图：
因为点在椭圆上，所以，
又因为，，
所以过点向椭圆作的切线一定存在斜率，且不为，
设切线方程为：，即，
代入椭圆的方程：，
得，
整理得：，
由，
可得，
设直线，的斜率分别为，，
则，
所以直线，的斜率之积为定值；
因为点是椭圆上异于左、右顶点、的点，
所以直线、的斜率存在且不为，分别设为、，
则直线：，
由，得，
设，则，同理可得，
所以，即，
由，得，
设，，
则，，
所以，
所以，
同理，
由可得：．
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