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2024-2025学年云南省曲靖市师宗二中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是等差数列，，则( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列的公比为，且，则( )
A. B. C. D.
3.定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.在数学王国中有许多例如，等美妙的常数，我们记常数为的零点，若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设函数，下列说法正确的为( )
A. 当自变量从变化到时，函数的平均变化率为
B. 在处的瞬时变化率为
C. 在上为减函数
D. 在时取极小值
7.已知是上的偶函数，且当时，若，则( )
A. B.
C. D.
8.设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为( )
A. B. C. D.
10.已知圆：和圆：交点为，，则( )
A. 圆和圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C. 圆上存在两点和使得
D. 圆上的点到直线的最大距离为
11.已知且，曲线：，则下列结论中正确的是( )
A. 当时，曲线是椭圆
B. 当时，曲线是双曲线
C. 当时，曲线的焦点坐标为，
D. 当时，曲线的焦点坐标为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义一个可导函数在定义域内一点处的弹性为，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为的可导函数______．
13.方程表示一个圆，则实数的取值范围为______．
14.过点的直线为，为圆：与轴正半轴的交点若直线与圆交于，两点，则直线，的斜率之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
依次求，，的值；
对任意正整数，记，即猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
16.本小题分
如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，，分别是，的中点．
证明：平面；
若，且，求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知直线：，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上．
求圆的方程；
设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程．
18.本小题分
如图，圆的半径为，是圆内一个定点且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动．
求点的轨迹；
当时，证明：直线与点形成的轨迹相切．
19.本小题分
已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数，总存在，，使得，，其中令为满足的所有中的最大值，为满足的所有中的最小值．
Ⅰ若无穷递增数列的前四项是，，，，求和的值；
Ⅱ若是无穷等比数列，，公比是大于的整数，，，求的值；
Ⅲ若是无穷等差数列，，公差为，其中为常数，且，，求证：，，，，和，，，，都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．
参考答案
1.
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12.，
13.
14.
15.函数，
则，，，，
，，，
所以，，；
，，，
所以猜想，
当时，，成立，
假设当时，命题成立，即，
函数，
即，
那么当时，
，
所以当时，猜想成立，
综合以上可知，当时，成立．
16.证明：连接交于点，连接，，
因为，分别是，的中点，为的中点，所以，且，
又因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以E.
又因为平面，平面，
所以平面．
解：连接，因为，所以为正三角形，所以，
因为，且，所以平面，
因为是正三角形，所以．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，
由，可得．
则，，，
设平面的法向量为，
所以，
令，得，
设平面的法向量为，
所以，
令，得，
设平面与平面所成的角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．
17.设圆心的坐标为，
由题意可得，解得或舍去，
所以圆的方程为；
由题意可知圆心到直线的距离为，
若直线斜率不存在，则直线：，圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线斜率存在，设直线：，即，
则，解得，则直线：，即．
综上直线的方程为或．
18.解：因为，，所以．
因为所以点与两个定点，的距离的和等于常数大于，
由椭圆的定义得，点的轨迹是以，为焦点，长轴长等于的椭圆．
证明：以线段的中点为坐标原点，以过点，的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．
设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义得：，即；，即．
则椭圆的标准方程为，
当时，点的坐标为和．
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程，得，
整理得，可得．
所以直线与点形成的轨迹只有个交点，即直线与点形成的轨迹相切．
当点的坐标为时，同理可证．
19.解：Ⅰ若无穷递增数列的前四项是，，，，
由，，其中，，，
则，；
Ⅱ若是无穷等比数列，，公比是大于的整数，
若，则：，，，，，，，为满足的所有中的最大值，即为，同理可得，
而为满足的所有中的最小值，即为，则，此时，，符合题意；
当，则：，，，，，，，此时，，不满足；
当，则：，，，，，，此时，，，，，即，，符合题意；
当时，则：，，，，，，，此时，，不满足；
综上可得，或；
Ⅲ证明：若是无穷等差数列，，公差为，其中为常数，且，，
可得，，则，，，，，，，，，
所以，；因为，，，所以，
所以，，，，为等差数列，通项公式为，；
又，，因为，，，
可得，则，，，，是等差数列，且，．
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