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2024-2025学年贵州省遵义市桐梓一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设实数满足，函数的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5.规定，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征下面的图象对应的函数可能是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知：，则的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
8.已知，则下列选项中正确的是( )
A. B. 关于中心对称
C. 关于直线对称 D. 的值域为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数在上最大值为 B. 函数的图像关于点对称
C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小正周期为
10.已知不等式的解集为，则以下选项正确的有( )
A.
B.
C. 函数有两个零点和
D. 的解集为或
11.已知关于的方程，则( )
A. 当时，方程的两个实数根之和为
B. 方程无实数根的一个充分条件是
C. 方程有两个小于的不等根的充要条件是
D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正实数，满足，则的最小值为______．
13.已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是______．
14.如图是一个弓形由弦与劣弧围成展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示已知，，设，矩形的面积为．
写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值；
要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
17.本小题分
已知函数且的图象过点．
求的值；
若，
求的定义域并判断其奇偶性；
求的单调递减区间．
18.本小题分
已知集合，，设函数．
当时，证明：函数是常数函数；
已知，写出所有使函数是常数函数的集合；
当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由．
19.本小题分
已知，其中为常数．
当时，解不等式；
已知是以为周期的偶函数，且当时，有若，且，求函数的解析式；
若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：集合，，
，
或，
解得或，
即实数的取值范围；
“”是“”的必要非充分条件，
，
集合，，
等号不能同时取到，
解得，
即实数的取值范围为．
16.解：已知，，设，矩形的面积为，
由题图知，
所以，即，
解得，
所以，
因为，
，当且仅当时，等号成立，
所以，即当时，取得最小值；
因为矩形的面积大于，
所以，化简得，
即，
解得或，
则的长度范围为．
17.解：由题意可得，，，
所以；
，
则，解得，
故的定义域为，
因为，
所以为偶函数；
因为，，
根据复合函数单调性可知，的单调递减区间为．
18.解：证明：当时，，
此时是常数函数；
设，不妨令，
则
．
若函数是常数函数，则
则，
得，所以，
得或，，所以或，，
同理或，，或，，
则
满足的集合有，，共个．
不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则
得，所以，
得，，所以，，
当为偶数时，可以拆分成组两项的和，
每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
当为奇数时，可以拆分成组三项的和
与组两项的和，每一组为定值时，也为定值，
所以当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
．
19.解：解不等式，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上，该不等式的解集为；
当时，，
因为是以为周期的偶函数，
所以，
由，且，得，
所以当时，，
所以当时，，
即，．
当时，此时，在上是严格增函数，
所以，所以，解得；
当时，此时，在上是严格增函数，
所以，所以，解得；
当时，在上不单调，
当时，则，在上，
所以在上严格增，在上严格减，
根据不等式的性质和相消法的应用，
于是，
令 ，解得或，不符合题意；
当时，分别在、上严格增，在上严格减，
，
令，解得或，不符合题意．
综上，所求实数的取值范围为．
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