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2024-2025学年云南省玉溪市澄江一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图像的对称轴的是( )
A. B. C. D.
4.已知：，则的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.要得到的图象，只要将的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6.函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是( )
A.
B.
C. 在区间共有个零点
D. 的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.已知实数，满足，则下列关系式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，则下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
9.已知定义在上的函数满足：，都有，且，，当时，有，则( )
A. B. C. D.
10.若函数的图像关于直线对称，则的零点可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知正实数，满足，则的最小值为______．
12.已知函数，则不等式的解集为______．
13.若，，且，则的最小值为 ．
14.已知，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日，商务部等部门发布关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知根据通知，对符合汽车以旧换新补贴实施细则规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补万元、购买燃油乘用车补元，分别提高至万元和万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件已知生产该产品的年固定成本为万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
分别写出与时，年利润万元与年产量百件的关系式利润销售收入成本；
当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
16.本小题分
已知二次函数的零点为，，且函数在取得最小值为．
求二次函数的解析式；
解关于的不等式，．
17.本小题分
已知函数的图象经过点，．
证明：函数的图象是轴对称图形；
求关于的不等式的解集；
若函数有且只有一个零点，求实数的值．
18.本小题分
已知函数的图象如图所示．
求函数的解析式；
求函数的单调递减区间；
求函数在区间上的值域．
19.本小题分
设是正比例函数，是反比例函数，且与的图象有公共点，函数．
求的解析式；
讨论在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
若函数在上有两个零点，求的取值范围；
若关于的方程在上有个互不相等的实根，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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10.
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13.
14.
15.解：由题意可得当时，，
当时，，
所以；
由得时，，
此时百件时，万元，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，万元，
而，故百件时，利润最大，
综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元．
16.解：因为二次函数的零点为，，
所以，所以，，．
又函数在取得最小值为，
而，，，
由基本不等式可得，
则，当且仅当时取等号，
则，．
由可得关于的不等式，所以，
当时，不存在；
当时，解得，
当时，解得，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
17.解：证明：根据题意可得，又，，，
解得，，
，
又，且，为偶函数，
的图象关于轴对称，
函数的图象是轴对称图形；
由可得，
关于的不等式可化为：
，
，
，
，，
原不等式的解集为；
由可知，，
有且只有一个零点即为：
与在上只有一个交点，
令，当且仅当时，等号成立，
又由与都为增函数，
可得在上单调递增，又在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，，
要使与在上只有一个交点，则，
故实数的值为．
18.解：由图象知，，，
由于，可得，
又，
所以，，
解得，
又因为，
所以，
可得；
令，，
解得，
可得函数的单调递减区间为；
当时，可得，
可得，
可得．
19.解：设，，
由题意得，且，得，
则，，
故；
在上单调递减，在上单调递增，证明如下：
，，且，
则
，
当，时，，，
则，
即，
所以在上单调递减；
当，时，，
则，即，
所以在上单调递增；
由，得，
设，，
令，
则，
由知在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
且在上有两个零点，所以，
即的取值范围是；
由得，
依题意可得关于的方程在上有个不相等的实根，
设，
则
解得，
即的取值范围为．
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