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2025-2026学年北京市高二上学期适应性练习数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
1.已知全集，集合满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量满足，，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面互相垂直，直线不在内且互相平行，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于两点，且，则( )
A. B. C. D.
6.若直线被圆截得的弦长为，则( )
A. B. C. D.
7.下列函数是奇函数，且函数值恒小于的是．
A. B.
C. D.
8.设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
9.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续天月相变化的数列，记为，其将满月等分成份，且表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第天为满月，即已知的第项到第项是公比为的等比数列，第项到第项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则 ．
A. B. C. D.
10.已知函数，若对于，，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设是等差数列的前项和，，，则 ．
12.在的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为，则的值为 ，展开式中系数最大的项为 ．
13.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度的取值范围为 ．
14.已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ．
15.曲线，，是曲线上任意两点，则下列说法正确的有 ．
曲线的图象关于原点对称；的最大值
直线与曲线没有其它交点；曲线所围成的面积为
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，角的对边分别为，且．
求的值；
若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件：；条件：；条件：的周长为．
17.如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小．
18.为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生．
求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率；
在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关．
在参加志愿服务活动的名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为．
(ⅰ)求随机变量的分布列；
(ⅱ)求，并说明之间的线性相关关系．
19.已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上
求椭圆的标准方程；
设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点不同于，求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程．
20.已知函数，，．
证明：在区间恒成立；
若的最小值为，求的值；
若在区间内恒成立，求的取值范围．
21.已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为其中，当时，；当时，；当时，若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，．
若数列：，求数列和；
设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列证明：为递增数列；
当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则对于给定的项数列，进行次变换，证明：．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.解：因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，可得 ．
解：由得 ，由正弦定理得 ，
若选条件：由余弦定理得 ，即 ，
又由 ，解得 ，则 ，此时 存在且唯一确定，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ；
若选条件：由 ，因为 ，即 ，
若 为锐角，则 ，
由余弦定理 ，即 ，
整理得 ，且 ，解得 ，则 ；
若 为钝角，则 ，
由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，且 ，解得 ，则 ；
综上所述，此时 存在但不唯一确定，不合题意；
若条件：因为 ，即 ，解得 ，则 ，
所以此时 存在且唯一确定，
由余弦定理得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ．

17.因为分别为中点，所以，
又因为平面，平面，平面．
因为平面，且，所以平面，
又因为四边形为矩形，所以两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得
设平面的法向量为，则，即
取，可得，所以平面的一个法向量为，
同理可取平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，又由，所以平面与平面夹角为．
18.解：记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件，样本空间为，
则，，
所以．
由题意可知：随机变量的可能取值为，，，，
则，
，
所以随机变量的分布列为
(ⅱ)由题意可知：，即，
因为，则，
令，
可知随机变量的可能取值为，
则，
可得随机变量的分布列为
可得，
因为，所以随机变量之间具有负相关关系．

19.因为为椭圆的右焦点，所以，
由对称性得，点，在椭圆上，代入得，
联立解得，，，
所以椭圆的标准方程为：．
由条件知直线与直线不重合，故直线的斜率不为，

设直线的方程为，
联立，可得，
设，，，
则，，，
由可得，，
由共线得：，
由共线得：，
由消去并整理得，，
即，所以，
综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动．

20.在恒正，
则在区间恒成立等价于在区间恒成立．
取，，故在区间单调递增，
所以．
故原不等式恒成立．
，，
当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，．
即当时，的最小值为，
．
记，
则当时，由知，在上单调递减，所以．
对恒成立，
又当时，由知，，
取时，，
则与已知不等式矛盾．
当时，，
，由知，
当时，，取，则，
从而由函数零点存在定理知，存在，使，
当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾．
当时，，
在单调递增，从而，，满足题意．
综上可知．

21.解：由题意得，数列，数列，
故数列．
证明：若对：进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列；
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，很，故仍为递增数列：
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列．
综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列．
以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列．
解：记数列：中去除等于的项后得到的数列为其余项相对位置不变，下同，中去除为的项后得到的数列为．
设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，
则．
如果对进行变换，即将替换为，
此时若与同号，则数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，即；
若与异号，则或；
若与中有，则一定不与异号，故．
如果对进行变换，即将替换为，
此时若与同号，则；
若与异号，有以下三种情况：
若与同号，显然也与异号，则；
若与异号，则；
若与中有，只有一个，
不妨设，则与异号，故，或，或．
若与同为，则；
若，，不妨设，则与同号，故；
若，，不妨设，则与异号，故或；
对进行变换与进行变换类似．
综上，对进行一次变换后，．
以此类推，对进行次变换，每一次变换后所得数列中去除等于的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前的并不会增大，且．
在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变，
则该变换一定是变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号，
故变换之后所得数列中去除等于的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少对．
所以对进行次变换时，其第一项的正负号最多发生次改变，
即．

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