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第十二讲 平衡中的临界与极值问题
知识总结：
一、临界问题：
1、由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态。常通过一些特殊语言表达，如“刚好”、“恰好”、“最大”、“至少”等。
2、平衡问题中常见的临界条件有：
（1）绳子断与不断的临界条件：绳中张力达到最大。
绳子绷紧与松弛的临界条件：绳中张力为零。
（2）两个物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件：静摩擦力达到最大。
（3）两个物体接触与脱离的临界条件：相互作用力为零。
二、平衡物体的极值问题，就是在变化过程中，出现力的最大值或最小值问题。
【例1】用AB和CD两根细绳悬挂一小轻环，A、C两点在同一水平面上，如图所示。已知AC=50cm，AB=30cm，CD=40cm，AB绳能承受的最大拉力为5N，CD绳能承受的最大拉力为4N，环下悬挂重物的悬绳能承受的最大拉力为9N，则所悬挂重物受到的重力最大为（　　）
A． B．
C． D．
【例2】如图所示，工地上的建筑工人用砖夹搬运四块相同的砖，假设每块砖的质量均为m，砖与砖夹的动摩擦因数均为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当砖处于平衡状态时，则右边砖夹对砖施加的水平力最小为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加外力F（重力加速度为g），则下列说法中正确的是（　　）
A．AC绳的拉力为
B．CD绳的拉力为
C．外力F的最小值为
D．外力F的最小值为
【例4】如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为（ ）
A．0°， B．30°，
C．30°， D．60°，
【例5】我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　）
A． B．
C． D．
【例6】如图所示，倾角为、静置在水平地面上的斜面体顶端有一光滑的定滑轮，斜面上的物块A通过细线绕过定滑轮与物块B相连，此时物块A恰要沿斜面滑动，现在物块B上施加水平向右的力使物块B缓慢升高（图中未画出），当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角时，物块A也恰要沿斜面滑动，已知物块B的质量为，重力加速度为，整个过程斜面体始终静止，则（　　）
A．外力的最大值为
B．物块A的质量为
C．物块A和斜面间的最大静摩擦力为
D．地面和斜面体间的摩擦力一直减小
课后巩固
一、单项选择题
1．山体滑坡是由于重力作用，山坡的“表层土”在“下层土”上面滑动时就会发生山体滑坡，如图甲所示。图乙是山体简化结构图，设山坡的倾角为时，表土层处于静止状态。假如连日降雨会使“表层土”和“下层土”间的动摩擦因数减小到时，就会发生山体滑坡，以下说法正确的是（　　）
A．表层土静止时，表层土受到4个力的作用
B．表层土静止时，表层土受到下层土的作用力方向垂直于下层土表面向上
C．表层土静止时，表层土受到5个力的作用
D．为了避免山体滑坡的发生，山坡的倾角至少应减小
2．螺丝钉是利用斜面自锁原理制成的。其原理如图所示，螺母与螺杆的螺纹结合，可以看作由两个叠放在一起并卷曲起来的同倾角斜面组成，设螺母、螺杆间的动摩擦因数为μ，斜面的高为螺距h，底为圆周长2πr，当螺杆受到很大的压力F时，仍然不会移动（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则应满足的关系为（　　）
A．h≤2πμr B．h≤πμr
C．h≥2πμr D．h≥πμr
3．三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一物体P，如图所示。其中OB是水平的，A端、B端固定。若逐渐增加物体P的质量，最先被拉断的绳是（　　）
A．一定是OA
B．一定是OB
C．一定是OC
D．可能是OA，也可能是OC
4．如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为37°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（　　）
A． B．
C． D．
5．用轻弹簧将一小物块竖直吊起，平衡时弹簧的伸长量为。现把该物块放在倾角为的斜面上，如图所示，用原弹簧给小物块施加一个与斜面bc边平行且向右的拉力F，使得小物块在斜面上静止。已知小物块与斜面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则轻弹簧的最大伸长量为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图所示，质量相等的物块A、B放在水平地面上，用绕过动滑轮C的轻绳连接，大小为F的力作用在滑轮上，方向指向右上方，作用在两物块上的轻绳在同一竖直面内，绳AC与水平方向的夹角为37℃，BC绳与水平方向的夹角为53°，不计滑轮的大小及滑轮的质量，A、B保持开始静止，两物块与水平面的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，保持F方向不变，缓慢增大F，则（ ）
A．物块A先滑动
B．物块B先滑动
C．物块A、B同时滑动
D．不能确定哪个物块先滑动
7．如图所示，细绳a穿过光滑、轻质的小钢环分别系于两挂钉M、N上，细绳b一端系于小钢环上，另一端用力F竖直向下拉，逐渐增大拉力F。已知细绳b承受的最大拉力是a的倍，细绳a被小钢环分成的两段成α角，下列说法正确的是（　　）
A．若α<80°，则必定是细绳a先断
B．若α>80°，则必定是细绳b先断
C．若α<100°，则必定是细绳b先断
D．若α>100°，则必定是细绳a先断
8．筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．小球受到3个力作用
B．当增大时，筷子对小球的作用力增大
C．当减小时，筷子对小球的作用力减小
D．使小球不掉落，筷子对小球的最小压力是
9．如图所示，两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上，紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦，则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　）
A． B．
C． D．
10．质量为、长为的均质软绳一部分平直放在足够高的桌面上，一部分自然下垂，恰好能保持平衡，由于微小晃动，软绳由静止开始滑下。已知软绳与桌面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，桌面边缘处光滑，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　）
A．起初下垂部分的软绳长度为
B．起初放在桌面上的软绳长度为
C．软绳与桌面间的最大摩擦力为
D．软绳刚离开桌面时的速度大小为
11．小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为，小李对绳施加的最大拉力为，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．无论取何值，小李都不可能拖动石墩
B．小李能拖动石墩，且当时最省力
C．小李能拖动石墩，且当时最省力
D．小李能拖动石墩，且当时最省力
12．如图所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上（），在物体上另施加一个方向与水平线也成角的拉力F，若要使绳都能伸直，下列F中不可能的是（取）（　　）
A．
B．
C．
D．
13．如图所示，倾角450的斜面上，放置一质量m的小物块，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是（ ）
A．mgsin150，与水平成150斜向右
B．mgsin300，竖直向上
C．mgsin750，沿斜面向上
D．mgtan150，水平向右
14．如图所示，甲，乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题
15．两物体M、m 用跨过光滑定滑轮的轻绳相连,如图放置,OA、OB与水平面的夹角分别为30°、60°,M重20 N, m重100 N，M、m均处于静止状态．下列说法正确的是( )
A．OA对物体M的拉力为N
B．OB对物体M的拉力为10 N
C．物体m受到的摩擦力为N,方向水平向左
D．物体m与水平面的摩擦因数不可能小于0.07
16．日常生活中，放在水平地面上的箱子可能被拖着运动，也可能被推着运动。一箱子和水平面之间的动摩擦因数为，且，对箱子施加一外力F，方向与水平面的夹角为θ，下列说法正确的是（ ）
A．用斜向上的力拉箱子匀速运动，当时最省力
B．用斜向上的力拉箱子匀速运动，当时最省力
C．用斜向下的力推箱子，当时不可能推动箱子
D．用斜向下的力推箱子，当时不可能推动箱子
17．如图所示，质量为的物体，放在一固定的斜面上，当斜面倾角时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为的水平向右的恒力，物体可沿斜面向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现增大斜面倾角，当超过某一临界角时，不论水平恒力多大，都不能使物体沿斜面向上滑行。则（ ）
A．物体与斜面间的动摩擦因数为
B．物体与斜面间的动摩擦因数为
C． D．
18．如图所示，水平面上有一固定的斜面体倾角为，质量为的物块在平行于斜面的水平恒力作用下恰好保持静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．物块与斜面间的动摩擦因数为
B．撤去后物块将沿斜面向下滑动
C．若方向不变大小变为，则物块的加速度大小为
D．若大小可变，方向可沿斜面所在平面转动，则要使滑块不滑动，的最大值为
答案
【例1】B 【例2】C 【例3】D 【例4】B 【例5】A 【例6】C
1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．D 9．B 10．D 11．C 12．A
13．A 14．A 15．CD 16．AD 17．AC 18．AC

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