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高中数学人教A版（2029）必修第一册
全册综合测试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合，，那么集合（ ）
A. B.
C. D.
2.下列选项不正确的是（ ）
A. 当时，的最小值是3
B. 已知，则的最大值是-2
C. 当时，的最大值是5
D. 设，则的最小值为2
3.函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. -2 B. 3 C. D.
6.不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7.函数（且）的定义域及单调性判断正确的是（ ）
A. 定义域为，当时单调递增
B. 定义域为，当时单调递增
C. 定义域为，当时单调递减
D. 定义域为，当时单调递减
8.函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分）
9.已知函数（其中，均为常数，且，）恰能满足下列4个条件中的3个：
①函数的最小正周期为；
②函数的图象经过点；
③函数的图象关于点对称；
④函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 条件①②③可同时满足 B. 条件①②④可同时满足
C. 条件①③④可同时满足 D. 条件②③④可同时满足
10.已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象
D. 的图象关于直线对称
11.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. D. 的最小值为-4
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知集合，则的真子集的个数是______。
13.已知，则取得最大值时的值为______。
14.计算的值为______。
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（12分）设数集由实数构成，且满足：若（且），则。
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）判断集合是不是双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合。
16.（15分）某地方政府准备建造一个面积为3000平方米的矩形运动场地（包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为2米，中间的三个矩形区域铺设塑胶地面（其中两个小矩形的形状、大小相同），塑胶地面总面积为平方米。
（1）设矩形运动场地相邻的两边分别为米和米，试写出关于的关系式，并给出的取值范围；
（2）怎样设计能使取得最大值？并求出最大值。
17.（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，。
（1）证明：函数是周期函数，并求出其周期；
（2）求的值；
（3）求函数在区间上的解析式。
18.（14分）主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声波曲线（，），其振幅为2，且经过点。
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）证明：为定值。
19.（13分）若某物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间，对数模型（为常数）可描述该物种累计繁殖数量与经过时间（单位：天）之间的对应关系，且。根据现有数据得出，，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（结果保留整数，参考数据：）。
（1）求所需时间的估计值；
（2）若该物种初始累计繁殖数量为，求经过300天该物种的累计繁殖数量（结果保留整数）。
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1.答案：C
解析：先化简集合：由得，即。
集合，根据并集定义取两集合覆盖的所有范围，故。
2.答案：D
解析：逐一验证选项，核心考查基本不等式（一正二定三相等）：
A：当时，，则。由基本不等式（当且仅当即时取等），故最小值为，正确；
B：当时，，则,正确；
C：，正确；
D：令 ，函数在单调递增，最小值为，错误。
3.答案：A
解析：函数的单调递增区间需满足两个条件：
a.定义域：被开方数非负，即；
b.单调性：根号函数单调递增，故需单调递增。
正弦函数的递增区间为（），结合定义域，得。
令，解得（）。
4.答案：B
解析：利用指数函数、对数函数的单调性比较大小：
化简指数式：，；
指数函数单调递增，故，即；
对数函数单调递增，故；
综上。
5.答案：D
解析：利用三角函数的定义：角终边过点，则：
终边到原点的距离 ；
正弦函数定义。
6.答案：D
解析：解一元二次不等式 ，步骤如下：
a.因式分解：方程 的根为，（十字相乘法：）；
b.判断开口方向：二次项系数为正，抛物线开口向上；
c.解集：不等式对应抛物线在两根外侧，故解集为或。
7.答案：A
解析：考查对数函数的定义域与单调性：
定义域：对数函数要求真数，故即，定义域为；
单调性：当时，对数函数单调递增；当时，单调递减。
8.答案：B
解析：三角函数的最小正周期公式为。
本题中，故。
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9.答案：AB
解析：函数（，），先由条件①确定（周期，），再验证其他条件：
条件②：过，得；
条件③：关于对称，得（符合）；
条件④：关于对称，得（符合）。
组合验证：
A（①②③）：，，可同时满足；
B（①②④）：，，可同时满足；
C（①③④）：与矛盾，不可；
D（②③④）：无①时未知，且矛盾，不可。
10.答案：AB
解析：结合三角函数图象特征（隐含周期，故），逐一验证：
A：，若过点，则（符合），正确；
B：（小于半个周期），的最大值为、最小值为，因间距小于半个周期，无法同时取到最值，故，正确；
C：右移得，横坐标变为得，错误；
D：对称轴需满足，解得，不满足，错误。
11.答案：AB
解析：由不等式 的解集，知（抛物线开口向下），且方程 的根为和，由韦达定理：
；。
逐一验证：
A：，正确；
B：不等式 代入、，得 ，因，两边除以变号得 ，因式分解，解集为，正确；
C：（），故，错误；
D：，，令，则表达式为，在时单调递增，最小值大于，错误。
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.答案：7
解析：先化简集合：由得，又，故。
集合真子集个数公式为（为元素个数），，故真子集个数为。
13.答案：
解析：将表达式化为二次函数形式： ，二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点横坐标为（符合），故此时取得最大值。
14.答案：
解析：利用诱导公式化简各部分：
；
，故；
，故；
总和为。
四、解答题（共77分）
15.解：
（1）已知，由集合性质“若（），则”：
令，得；
令，得；
令，得（回到初始元素，循环结束）。
故A中还有和两个元素。（4分）
（2）假设A是双元素集合，则存在，使得（元素自循环），整理得 。
该方程判别式 ，无实数解，故假设不成立，A不是双元素集合。（4分）
（3）由（1）知，A中元素成三元循环组：，每组积为，每组和为（非零）。
已知条件：
元素个数≤8，故最多2组三元组（6个元素）；
所有元素和为；
一个元素的平方等于所有元素的积（6个元素积为，故存在元素满足 ，即，舍去）。
取第一组（和为），设第二组为（和为），则。
令，得第二组（和为），符合条件。
故集合。（4分）
16.解：
（1）由矩形场地面积，得；
塑胶地面面积=总面积-走道面积：走道包括四周（宽度2米）和中间纵向走道（宽度2米），故塑胶区域的长为（左右各2米），宽为（上下各2米），减去中间纵向走道面积，得：
代入，化简得：
的范围：（塑胶区域长为正）且（塑胶区域宽为正），即且，故。（8分）
（2）由基本不等式，对（）：
当且仅当即时取等，此时。
故（平方米）。
设计方案：矩形场地的长为米（约67.08米），宽为米（约22.36米）时，塑胶面积最大，最大值约为2265平方米。（7分）
17.证明：
（1）由是奇函数，得；
由是偶函数，得；
推导周期：，故。
因此，是周期函数，周期为8。（4分）
解：（2）由周期为8，得；
又（由）；
当时， ，故 ，因此。（4分）
（3）当时，，由奇函数性质 ；
当时，，由周期性质 。
综上，解析式为：
（5分）
18.解：（1）已知，（振幅），过点，代入得：
解得，结合，得，故；
降噪声波与噪声波振幅相同、相位相反，故（或化简为）。（7分）
证明：（2）将代入，令，则：
利用正弦和角公式化简括号内的和：
相加得：
故，为定值。（7分）
19.解：（1）由题意；
累计繁殖数量是初始8倍，即，代入模型：
解得（天）。（6分）
（2）代入，，：
（7分）

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