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分式方程的应用
12.5
第12章 分式和分式方程
冀教版2024 八年级上册
情境●引入
小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入字数的和是220,那么两人平均每分钟各录入多少字?
1.请找出上述问题中的等量关系.
2.试列出方程，并求方程的解.
任务
典例●精析
例1
某工程队承建一所希望学校在施工过程中，由于引进了先进设备，工作效率提高了20%,因此提前1个月完工.那么,这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校?
解：设工程队原计划用x个月的时间建成这所希望学校.根据题意，得, 1????·(1+20%)=1?????1
解这个方程，得
x=6.
经检验，x=6是原分式方程的根.
答：这个工程队原计划用6个月的时间建成这所希望学校.
?
问题中的等量关系为
引进设备前的工作效率×(1+20%)=引进设备后的工作效率.
分析
小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入字数的和是220,那么两人平均每分钟各录入多少字?
典例●精析
解：设小红平均每分钟录入x个字，则小丽平均每分钟录入220-x个字.
则由题意得，
9000????=7500220?????
解得，x=120
答：小红和小丽平均每分钟录入的字数分别为120和100.
?
解分式方程应用题的步骤
审
设
列
解
验
答
01
02
03
04
05
06
即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系．
即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量．
即列方程，根据等量关系列出分式方程．
即解所列的分式方程，求出未知数的值．
即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义．
即写出答案，注意单位和答案完整．
典例●精析
例2
A，B两种型号机器人搬运原料. 已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.
解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg.
由“A型机器人搬运1000kg所用时间
= B型机器人搬运800kg所用时间”
这一等量关系可列出如下方程：
典例●精析
方程两边同乘最简公分母x(x+20)，得
1000x = 800(x+20).
解得x = 80.
检验：把x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，
因此x=80是原方程的根，且符合题意.
由此可知，B型机器人每小时搬运原料80kg，
A型机器人每小时搬运原料100kg.
例2
A，B两种型号机器人搬运原料. 已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.
典例●精析
例3
某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？
设原计划每天生产x吨纯净水，则依据题意，得

整理，得4.5x＝900，
解之，得x＝200.
把x＝200代入原方程，成立，
∴x＝200是原方程的解．
答：原计划每天生产200吨纯净水．
解：
典例●精析
我们常见的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？
{EB9631B5-78F2-41C9-869B-9F39066F8104}
行程问题 路程 = 速度×时间
数字问题 要掌握十进制数的表示法；
工程问题 工作量 = 工时×工效
批发成本 = 批发数量×批发价；
打折销售价 = 原价× ；
利润问题 销售利润 = 销售收入－成本；
利润率 = 利润÷进价.
折数
10
思考：
典例●精析
例4
某服装店销售一款服装.若按原价销售，则每月销售额为10000元；若按八五折销售，则每月多卖出20件，且月销售额还增加1900元.那么,每件服装的原价为多少元?
解：设每件服装的原价为x元.根据题意，得
10000+190085%?????10000????=20
解这个方程，得
x=200.
经检验，x=200是原方程的解
答：每件服装的原价为200元.
?
本题中的主要等量关系为
每月按八五折销售服装的数量-每月按原价销售服装的数量=20件.
分析
典例●精析
例5
国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴200元，若同样用11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？
解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，
即
方程两边同乘最简公分母x(x-200)，
解得 x = 2200.
得 1.1(x-200)= x.
检验：把x=2200代入x(x-200)中，它的值不等于0，
因此x=2200是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台2200元.
典例●精析
例6
中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
(1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
解：(1)设A种茶叶每盒进价为x元，
则B种茶叶每盒进价为1.4x元，
依题意，得：
解得　x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝280.
答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．
典例●精析
例6
(2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B 两种茶叶共100盒(进价不变)，A 种茶叶的售价是每盒300元，B 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元(不考虑其他因素)，求本次购进A，B两种茶叶各多少盒．
解：(2)设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶(100－m)盒，
依题意，得：(300－200)×????2＋(300×0.7－200)×????2＋(400－280)×100?????2
＋(400×0.7－280)×100?????2＝5 800，
解得m＝40，∴100－m＝60.
答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．
?
典例●精析
例7
我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株，你能列出方程吗？
解：设这批椽的数量为x株，
因此每株椽的价钱为3(x-1)文.
由题意得，
6210????=3(x-1).
?
将这个方程化为整式方程，得
6210=3x(x-1).
它不是我们熟知的方程,因此这里不解该方程.九年级学习一元二次方程的解法后再来解决这个问题.
?
数学文化
《四元玉鉴》
《四元玉鉴》是朱世杰阐述多年研究成果的一部力著。全书共分3卷，24门，288问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题（需设立四个未知数者）有7问，三元
者13问，二元者36问，一元者232问。卷首列出了贾宪三角等四种五幅图，给出了天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例；后三者分别是二元、三元、四元高次方程组的列法及解法。创造四元消法，解决多元高次方程组问题是该书的最大贡献，书中另一个重大成就是系统解决高阶等差级数求和问题和高次招差法问题.
典例●精析
例8
一个两位数的十位数字是4，如果把这个两位数的个位数字与十位数字交换，那么得到的新两位数与原两位数的比值是47，求原来的两位数.
?
解：设原两位数的个位数字是x，则原两位数可表示为(10x+4),把这个两位数的个位数字与十位数字交换，得到的新两位数为4×10+x=40+x，则
解得，x=2
因此，原来的两位数为24.
典例●精析
例9
某省A,B两市城际铁路正式开通，从A市到B市的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时．已知A市到B市的普快列车里程约为
1 026千米，高铁列车平均速度为普快列车平均速度的2.5倍．求高铁列车的平均速度．
设普快列车的平均速度为x千米/小时，
则高铁列车的平均速度为2.5x千米/小时，由题意得：
解得x＝72，
经检验，x＝72是原分式方程的解，且符合题意，
则2.5x＝180. 答：高铁列车的平均速度为180千米/小时．
解：
课堂●小结
分式方程的
实际应用
步骤
类型
一审二设三找四列五解六验七写
工程问题
行程问题
利润问题
数字问题
课后●练习
1.天津市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是(　　)
B.
C. D.
B
课后●练习
2.随着快递业务的发展，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为(　　)
D
课后●练习
3.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度.
解：设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意,得
解得 x=±18.
经检验，x=18是原方程的解，且符合题意.
故船在静水中的速度为18千米/时.
方程两边同乘（x-2)(x+2),得
80x+160 －80x+160=x2 －4.
课后●练习
4.某工程队需要在规定日期内完成.若甲队单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天才能完成.现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？
解：设规定日期是x天，根据题意，得：
方程两边同乘以x（x+3），得：
2（x＋3）＋x2=x（x＋3）.
解得： x=6.
检验：x＝6时x（x+3）≠0，x＝6是原方程的解.
答：规定日期是6天.
课后●练习
5.某公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3 120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等．
(1)该公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元？
解：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x－9)元/条，
根据题意得： ，解得x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
∴x－9＝26
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
课后●练习
(2)设购买了a条A型芯片，则购买了(200－a)条B型芯片．
根据题意得：26a＋35(200－a)＝6 280，
解得　a＝80.
答：购买了80条A型芯片．
(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6 280元，问购买了多少条A型芯片？
谢谢

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