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2025-2026学年辽宁省辽西重点高中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D. ，
4.定义在上的偶函数满足，且时，，则( )
A. B. C. D.
5.已知样本数据，，，，均为正数，其方差，则样本数据的平均数为( )
A. B. C. D.
6.在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知复数，和满足，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长均相等的正三棱柱中，，分别为线段，的中点，点在上，若平面，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数，满足，则( )
A. 的取值范围是 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值
10.小荣爱好篮球，他记录了在月份的次训练成绩和月份的次训练成绩通过计算，他发现月份的训练成绩的平均值为，方差为；月份的训练成绩的平均值为，方差为下列说法正确的是( )
A. 小荣这两个月的次训练成绩的平均值为
B. 小荣这两个月的次训练成绩的平均值为
C. 小荣这两个月的次训练成绩的方差为
D. 小荣这两个月的次训练成绩的方差为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的平分线交于点，则( )
A.
B. 外接圆的面积为
C. 若，则为直角三角形
D. 若的内切圆的圆心为，则周长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为______．
13.先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴______．
14.已知锐角的面积为，点，分别在，上，且对任意恒成立，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有．
求的值；
求证：在上为增函数；
16.本小题分
已知函数为常数，．
当取何值时，函数为奇函数；
当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在中，，分别为边，上的点，且：：：，与交于点，记，，，．
求和的值，并用表示；
若，，，求与夹角的余弦值．
18.本小题分
中，角，，的对边分别为，，，已知，．
求角的值；
求的最大值；
若边上的中线长为，求的面积．
19.本小题分
已知四棱锥的底面为是边长为的正方形，平面
求证：平面；
若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值；
若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13，
14
15由，
故此令，则，
则．
证明：设，是上任意两个实数，且，令，，
则，所以，
由得，
由题意可知，当时，有．
所以，
故，即，
故此函数为上增函数．
16.若为奇函数，则恒成立，
即，
，解得：．
当时，，，
，
当时，，又在上单调递增，
当时，，
令，则方程在上有实根，
在上有实根，又在上单调递增，
，．
17.，，：：：，
则，，
，，
，，
，
，解得，
，
；
，，，
，，，
，，
．
，
．
，
与夹角的余弦值为．
18.因为，则由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
因为，所以．
因为，由正弦定理可得，
则，．
因为，，所以，
所以
，
所以，其中．
所以当时，取得最大值，最大值为．
由题意可知，，
由知，即，
因为为边上的中线，所以，
两边平方得：，
所以，
可得，可得，
所以的面积．
19.证明：连接、，
平面，平面，，
正方形中，，且、是平面内的相交直线，
平面．
解：，平面，平面，平面，
又平面，平面平面，，
直线与所成的角等于直线与所成的角，即或其补角，
平面，平面，，
，、是平面内的相交直线，
平面，结合平面，可得，
中，，可得，中，，可得，
直线与直线所成角的余弦值为．
解：在四棱锥中，平面，四边形是正方形，
将四棱锥补形成正四棱柱，平面即平面，
在平面内，过点作于，连接，
平面，平面，，
又，、平面，
平面，是直线与平面所成的角，
取中点，连接、，
由是的中点，可得，
平面，平面，，
设，则，，则，
而，由直线与平面所成角的正弦值为，
得，
整理得，解得或，即或．
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