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2025-2026学年重庆市彭水一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为( )
A. B. C. D.
3.已知直线：与：平行，则( )
A. B. C. D. 或
4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，直线与直线交于点，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点包括边界，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在等边中，，以，为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知满足：：：：，且的面积，则下列命题正确的是( )
A. 的周长为 B. 的三个内角，，满足关系
C. 的外接圆半径为 D. 的中线的长为
10.已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，轴，垂足为，关于原点的对称点为，交的另一交点为，则下列说法正确的是( )
A. 的轨迹方程为： B. 面积有最小值为
C. 面积有最大值为 D. 为直角三角形
11.正方体的棱长为，，分别是，的中点，点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若平面，且点平面，则的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆：的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线：交椭圆于、两点，若恰好为的重心，则 ______．
13.设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为______．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆交于，两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知正方体中，，分别是和的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，，的面积为．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ过的右焦点作直线与交于，两点均与点不重合，若，求的方程．
17.本小题分
记斜的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
求角；
为边的中点，若，求的面积；
如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
18.本小题分
如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点不含端点．
证明：平面；
若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为．
(ⅰ)求三棱锥的体积；
(ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
如图，平面四边形中，，，，将沿边折起如图，使_____，点，分别为，的中点，在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．
；
为四面体外接球的直径；
平面平面．
求直线与平面所成角的大小；
求二面角的正弦值．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15解：证明：在正方体中，
取的中点，连接、，如图所示：
是的中点，
，，
是的中点，且，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
正方体，为的中点，
，
；
设到平面即平面的距离为，直线与平面所成角为，
不妨设正方体棱长为，则，
由得，根据棱柱的结构特征可得平面，
平面，
，
又，平面，，
则平面，
，
平面，
，即，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
16解：Ⅰ由题意可得，解得，
故C的方程为；
Ⅱ由可知，为的平分线，
若为轴，此时的平分线为轴，不符合题意；
所以的斜率不存在或斜率不为，
易知，，
设：，，，
联立得方程组得，
因为直线所过定点在椭圆内，则直线与椭圆必有两交点，
所以，
由可知，
因为为的平分线，
所以，所以，
又因为，则，，
所以，
整理得，
将式代入整理得，解得，
所以的方程为，即．
17由，
结合余弦定理，得，
由三角形为斜，可得，
可得，即，
，，即，．
为边的中点，得，
可得，
即，
由，得，
由可知，即，，
由余弦定理得，解得，
的面积为；
，
在中，由正弦定理可得，，即，
在中，由正弦定理可得，，即，
四边形的内角和为，且，，
在中，由余弦定理可得，
，
即，
，
，
在中，，，
，故的取值范围为．
18.解：证明：因为，分别是，的中点，
所以．
因为平面，平面，
所以平面；
如图，连接，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心．
因为是等边三角形，是中点，
所以外接圆的圆心在上．
又平面平面，
所以球的球心即为外接圆的圆心．
因为球的表面积，
所以球的半径，
所以，，，
所以三棱锥的体积．
(ⅱ)如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则．
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，得，
设直线与平面所成角为，
则．
令，，则，
当时，，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19解：若选：由，
在中，，，，，
可得，由勾股定理可得，，
又由，且，，平面，
由线面垂直的判定定理可知，平面，
又因为平面，由线面垂直的性质定理可知，，
又由，且，，平面，所以平面，
又因为，分别为，中点，可得，所以平面．
即直线与平面所成角的大小为．
若选：由为四面体外接球的直径，则，可得，
又由，且，，平面，所以平面，
因为，分别为，中点，可得，所以平面．
即直线与平面所成角的大小为．
若选：由平面平面，平面平面，
因为，且平面，
由直线与平面垂直的判定定理可知，平面，
又因为平面，
由平面与平面垂直的性质定理可知，，
又由，且，，平面，所以平面，
因为，分别为，中点，可得，所以平面．
即直线与平面所成角的大小为．
以为原点，射线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以平面的一个法向量，
设二面角的大小为，，
则，
故二面角的正弦值．
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