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2025-2026学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { |2 1 > 5}， = {1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3} B. {2,3} C. {3} D.
2.下列命题正确的是( )
A.若| | = | |，则 = B.若| | > | |，则 >
C.若 = ，则 / / D.若| | = 0，则 = 0
3.函数 ( ) = 13 +1的定义域为( )
A. { | ≥ 13 } B. { | ≥ 3} C. { | >
1
3 } D. { | > 3}
4.设 sin 2 + cos
5
2 = 2 ，则 =( )
A. 3 B. 12 2 C.
1
3 D.
1
4
5 4.不等式 1 ≥ 2 解集是( )
A. { | 2 ≤ ≤ 1} B. { | ≤ 2} C. { | 2 ≤ < 1} D. { | > 1}
6.设 = 4.2 0.2， = 4.20.2， = log4.20.2，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 // ， // ，则 //
②若 // ， // ， ⊥ ，则 ⊥
③若 ⊥ ， // ，则 ⊥
④若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
8.设△ 的内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ，若 + = ，则△ 的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 = 3

.已知复数 2+ ， 为虚数单位， 为 的共轭复数，则下列说法正确的有( )
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A. = 1 + B. | | = 5
C. 4是实数 D. 在复平面上对应的点在第二象限
10.下列叙述中，正确的有( )
A. = = 正弦定理的变式： =
1
2
B.余弦定理： 2 = 2 + 2 2
C. 4球体体积公式为： 球体 = 3
3
D. 1棱台的体积公式为： 棱台 = 3
11.已知平面向量 = ( 1, 2), = (1, 3)， 与 的夹角为 ，则( )
A. // B. ⊥ ( )
C. = 45° D. 1在 上的投影向量为( 2 ,
3
2 )
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知圆锥的侧面积(单位： 2)为 2 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位： )
是 ．
13.已知 、 是直线， 、 是平面，给出下列命题：
①若 垂直于 内两条相交直线，则 ⊥ ；
②若 平行于 ，则 平行于 内所有的直线；
③若 ， 且 ⊥ ，则 ⊥ ；
④若 且 ⊥ ，则 ⊥ ；
⑤若 ， 且 // ，则 // ．
其中正确命题的序号是______．
2 , ∈ ( ∞,1]
14 ( ) = 1.设 , ∈ (1, + ∞) ，则满足 ( ) = 4的 的值为______．81
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知函数 ( ) = + 的图像过点(1,3)．
(1)求实数 的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
16.(本小题 15 分)
已知 是实数，函数 ( ) = 2 2 + 2 3 ，如果函数 = ( )在区间[ 1,1]上有零点，求 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
如图，棱锥 的底面 是矩形， ⊥平面 ， = = 2， = 2 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值的大小．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 2 = 3 ．
(1)求 ；
(2)若 = 4，且△ 的面积为 2 3，求△ 的周长．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 4 cos

4 + 3cos 2．
(1)求函数 ( )的最小正周期及最值；
(2)令 ( ) = ( + 3 )，判断函数 ( )的奇偶性，并说明理由．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
121
13①④
143
15(1) 解：根据题意，函数 ( ) = + 的图像过点(1,3)，
则有 3 = 1 + ，解得： = 2．
(2)解：奇函数，证明如下：

证明：∵函数 ( ) = + 的定义域为{ | ≠ 0}，
又 ( ) = 2 = ( )，
∴函数 ( )是奇函数．
16解： = 0 时，不符合题意，所以 ≠ 0，
2
又∴ ( ) = 2 2 + 2 3 = 0 1 2 1在[ 1,1]上有解， (2 2 1) = 3 2 在[ 1,1]上有解 = 3 2
2 2 1
在[ 1,1]上有解，问题转化为求函数 = 3 2 [ 1,1]上的值域；
2
设 = 3 2 ， ∈ [ 1,1]，则 2 = 3 ， ∈ [1,5]， = 1 ( 3) 2 12 = 2 ( +
7
6)，
2
设 ( ) = + 7 7 ． ′( ) = 2 ， ∈ [1, 7)时， ′( ) < 0，此函数 ( )单调递减，
∈ ( 7, 5]时， ′( ) > 0，此函数 ( )单调递增，
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∴ 的取值范围是[ 7 3,1]，
∴ ( ) = 2 2 + 2 3 = 0 在[ 1,1] 1上有解 ∈ [ 7 3,1] ≥ 1 ≤
3+ 7
或 2 ．
≥ 1 ≤ 3+ 7故 或 2 ．
17证明：(1) ∵棱锥 的底面 是矩形， ⊥平面 ， = = 2， = 2 2．
∴ ⊥ ， = 2 2 = (2 2)2 22 = 2，
∴ 是正方形，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ．
解：(2) ∵棱锥 的底面 是矩形，
⊥平面 ， = = 2， = 2 2．
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ 是二面角 的平面角，
∵ = = 2， ⊥ ，
∴ ∠ = 45°，∴ cos∠ = 45° = 22 ，
∴ 2平面 和平面 夹角的余弦值的大小为 2 ．
18解：(1)由 2 = 3 ，得 2 = 3 ，
在△ 中， ≠ 0，∴ = 32 ，
在△ 中， ∈ (0, ) ，∴ = 6．
(2) △ =
1
2 =
1
2 × × 4 ×
1
2 = 2 3，
∴ = 2 3，
3
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 12 + 16 2 × 2 3 × 4 × 2 = 4，
∴ = 2，∴ + + = 2 3 + 4 + 2 = 6 + 2 3，
∴△ 的周长为 6 + 2 3．
19 解：(1) ∵ ( ) = sin 2 + 3cos 2 = 2 ( 2 + 3 )，
∴ ( ) 2 的最小正周期 = 1 = 4 ．
2
当 sin( + 2 3 ) = 1 时， ( )取得最小值 2；
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当 sin( + 2 3 ) = 1 时， ( )取得最大值 2．
(2) ( )是偶函数．理由如下：
由(1)知 ( ) = 2 ( 2 +

3 )，
又 ( ) = ( + 3 )，
∴ ( ) = 2 [ 1 2 ( + 3 ) + 3 ]
= 2 ( 2+ 2 ) = 2

2．
∵ ( ) = 2 ( 2 ) = 2

2 = ( )，
∴函数 ( )是偶函数．
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