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2025-2026学年河北省部分学校高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角 的终边过点(0,2)，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
2.为了得到函数 ( ) = tan( + 1)的图象，只需把函数 ( ) = 图象上所有的点( )
A.向右平移 1 个单位长度 B.向左平移 1 个单位长度
C.向上平移 1 个单位长度 D.向下平移 1 个单位长度
3.如图，在平行四边形 中， 为 的中点，则 =( )
A. 3 + 1 2 2
B. + 1 2

C. 3 2 +
D. + 3 2
4 1.若直线 的方向向量和平面 的法向量夹角的余弦值为3，则直线 与平面 所成角的正切值为( )
A. 1 B. 2 2 23 3 C. 2 2 D. 4
5.已知 ， ， 是 3 个不同的平面，且 ⊥ ，下列命题正确的是( )
A.若 ⊥ ，则 ⊥ B.若 ⊥ ，则 //
C.若 // ，则 ⊥ D.若 // ，则 //
6.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 2 ，则( )
A. = B. = C. = D. = 2
7.如图，在棱长均相等的正三棱柱 1 1 1中， ， 分别为线段 1， 1 1的中点，点 在 1 上，若
⊥平面

，则 1 =( )1
A. 12
B. 13
C. 23
D. 34
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8.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后
人称为“赵爽弦图”.如图，大正方形 由四个全等的直角三角形与一个小正方
形拼成，其中小正方形 的边长为 1， 为 的中点，点 在正方形 内(不
含边界)，则 的取值范围为( )
A. (1,2) B. (0,4) C. (2,4) D. (1,4)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 4为第一象限角， = 5，则( )
A. = 35 B. =
3 C. 2 = 124 25 D. tan
1
2 = 2
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则( )
A.平面 1 1与平面 1
2
1所成二面角的正弦值为 2
B.平面 1 1与平面 1 1 所成二面角的正弦值为 1
C.点 到平面 1 1的距离为 2
D.三棱锥 1 外接球的表面积为 3
11.已知函数 ( ) = + 1| |，则下列结论正确的是( )
A. ( )是偶函数
B. ( )的图象关于直线 = 对称
C. ( ) ≥ 2
D.若 ∈ [ , 1 3 3 ]， 2 ∈ [2025 , 2025 + ](0 < <

2 )， ( 1) = ( 2)，则 取最小值时， =
5+ 41
4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = ( 1,2)， = ( ,3)，若 ⊥ ，则 =______．
13.已知正四棱台的上底面边长为 2，下底面边长为 4，侧棱长为 11，则该正四棱台的体积为______．
14.某斜面上有两根长为 3 米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜
面的接触点分别为 ， ，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳
光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为 1.5 米，
另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为 5米，斜面的底角为 ，则
= ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知单位向量 与 的夹角为 60°．
(1)求| + 2 |；
(2)求向量 与 + 2 的夹角的余弦值；
(3)若( + 2 )//( + )，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | ≤ 2 )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 ( )的单调递减区间；
(3)求使 ( ) = 12成立的 的取值集合．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ，记平面 ∩平面 = ， //平面 ．
(1)证明： // ．
(2)证明：平面 ⊥平面 ．
(3)已知 = = = 3， = 2，求二面角 的正弦值．
18.(本小题 17 分)
如图，在△ 10中，点 在边 上，且 = 2 = 2, cos∠ = 10 ．
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(1)若 sin∠ = 45，求 ；
(2)若 = ，求△ 的面积；
(3)若 = ，求△ 的周长．
19.(本小题 17 分)
如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径 1 1 = 50 ，下底面直径 = 40 ，水面直径
= 42 ， 1， 1， 1均为圆台形水桶的母线，长度均为 50 .现有一根细棒 ，其长度为 16 10 ，
将 放入水桶中，且将 的一端置于点 处(水桶厚度、细棒粗细均忽略不计)．
(1) 如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？
(2)若将 的另一端置于母线 1上点 2处，求 浸入水中部分的长度．
(3)已知 1 ⊥ ，若将 的另一端置于母线 1上点 3处，求 浸入水中部分的长度．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.28
14.12
15.(1) = | | | | 60° = 12，
则| + 2 | = 2
2
+ 4 + 4 = 7；
(2) ( + 2 ) = 2 + 2 = 2，

cos < , + 2 >= ( +2 ) =
2+2 = 2 7则 ；
| || +2 | 1× 7 7
(3)因为( + 2 )//( + )，
所以 + 2 = ( + ) = + ，
1 =
所以 2 = ，
解得 = 12．
16.(1) ( ) 1 = 5 由题意得 的周期 满足4 12 6 = 4，
= = 2 解得 ，所以 = 2，则 ( ) = sin(2 + )，
因为当 = 5 12时函数取得最大值，
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5 + = 所以 6 2 + 2

， ∈ ，结合| | ≤ 2，求得 =

3，
所以 ( ) = sin(2 3 )；
(2) 对于 ( ) = sin(2 3 )，令2 + 2 ≤ 2
3
3 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
5 + ≤ ≤ 11 解得12 12 + ， ∈ ，
( ) [ 5 所以 的单调递减区间为 12 + ,
11
12 + ]( ∈ )；
(3) ( ) = 1 1若 2，则 sin(2 3 ) = 2，
2 5 结合正弦函数的性质，可得 3 = 6 + 2

或 2 3 = 6 + 2 ， ∈ ，
解得 = 7 12 + 或 = 4 + ， ∈ ，
所以使 ( ) = 12成立的 的取值集合为{ | =
7
12 + 或 = 4 + , ∈ }．
17.(1)证明：因为平面 ∩平面 = ， //平面 ， 平面 ，所以 // ．
因为平面 ∩平面 = ， //平面 ， 平面 ，所以 // ，
所以 // ；
(2)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
(3)以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因此 (3,0,0)， (2,3,0)， (0,3,0)， (0,0,3)．
= (2,3, 3)， = (3,0, 3)， = (0,3, 3)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
因此 = 0 2 1 + 3 3 = 0，因此 1 1 ，可取 = (3,1,3)，
= 0 3 1 3 1 = 0
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设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
因此 = 0 2
+ 3 3 = 0
，因此
2 2 2
3 3 = 0 ，可取 = (0,1,1)， = 0 2 2
cos , = = 4 2 38| ， || | 19 2 = 19
所以二面角 的正弦值为 209．
19
18.(1)由于∠ ∈ (0, )， = 2 = 2, cos∠ = 1010 ，
可得 = 3，sin∠ = 1 cos2∠ = 3 1010 ，

可得sin∠ = sin∠ ，
= × sin∠ = 3 × 4 = 4 10可得 sin∠ 3 10 5 5 ；
10
(2)设 = = ，
可得 2 = 2 + 2 2 × ∠ ，
10 10+ 10
可得 9 = 2 + 2 2 × × 10 ，解得
2 = 2 ，
△ = 1 ∠ = 1 2 × 3 10 = 3 10+3可得 的面积 2 2 10 4 ；
(3)设 = = ，则∠ = ∠ ，
可得∠ = ∠ = ∠ ，则 cos∠ = cos∠ ，
2△ cos∠ = +
2 2 2+4 2 1
在 中，可得 2 = 4 = ，
在△ 中，可得 2 = 2 + 2 2 ∠ = 2 + 1 2 × ( 1 ) = 2 + 3，
在△ 中，可得 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 9 = 2 + 2 + 3 2 2 + 3 10，整理得 6 = 2 2 10 210 5 + 3，
令 = 2， > 0，可得 6 = 2 105 + 3，
可得 10 2 + 30 = 10 30，
两边平方得 2 7 + 10 = 0，解得 = 2 或 = 5，
当 = 2 时， 10 2 + 30 = 10 ≠ 10 30 舍去，
当 = 5 时， 10 2 + 30 = 10 30 成立，
可得 = = 5， = 2 + 3 = 2 2，
可得△ 的周长为 + + = 5 + 2 2 + 3．
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19.(1)由题意水桶的上底面直径 1 1 = 50 ，下底面直径 = 40 ，水面直径 = 42 ，
1， 1， 1均为圆台形水桶的母线，长度均为 50 ，
细棒 的长度为 16 10 ，
当 垂直于圆台形水桶的底面，即直线 1垂直于圆台形水桶底面时，浸入水中部分的长度最小，
记 1 ∩ = ， 1 ∩ = =
1 ， 1

1 1 1 2 = 5 ， = 2 = 1 ，

水桶的高 = = 21 1 2 = 15 11 ，因为△ ∽△ 1 ，所以 1 = ，
5 = 15 11即1 ，解得 = 3 11 ，所以浸入水中部分的长度最小值为 3 11 ．
(2)记 2 ∩ = ，过 作 ⊥ 1 1，垂足为 ，
cos∠ 1 = cos∠ 1 =
1 1
1 = 1 10
，
在△ 中， 22 2 = 2 + 22 2 2cos∠ 1，
所以(16 10)2 = 402 + 22 2 × 40 × 2 × (
1
10 )，
即 22 + 8 2 960 = 0，
解得 2 = 4( 61 1) ，(负根舍去)，
由(1)得，△ ∽△ 1 ，
1 = 所以 1 = = 5，解得 = = 10 ，
因为 // ，所以 =
10
，即2 2 16 10
= 4( 61 1)，
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= 2 10( 61+1)解得 3 ，
2 10( 61+1)所以 浸入水中部分的长度为 3 ．
(3)记圆台形水桶上底面圆的圆心为 1，下底面圆的圆心为 ，连接 1，
因为 1 平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
因为 1 ⊥ ，直线 1与直线 1一定相交，所以 ⊥平面 1 1 ，
又 ⊥平面 1 1 ，所以 ⊥ ，
在等腰梯形 1 1中， = 20 2 ， 1 1 = 25 2 ，cos∠ 1 = cos∠ 1
2
1 = 20，
在△ 3中， 2 2 23 = + 3 2 3cos∠ 1，
所以(16 10)2 = (20 2)2 + 23 2 × 20 2 × 3 × (
2
20 )，
即 23 + 4 3 1760 = 0，
解得 3 = 40 ，(负根舍去)，
记点 3在平面 内的投影为 ，点 1在平面 内的投影为 ，
矩形 1 1 如图 1 所示，
因为△ 3 ∽△ 1
50 15 11
，所以 1 =
1
3 3
，即40 = ，3
解得 3 = 12 11 ，
记 3与水面交于点 ，点 在平面 内的投影为 ，△ 3 如图 2 所示，
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因为△ ∽△ 3 113 ，所以 = ，即3 3 16 10
= 12 11，
解得 = 4 10 ，
所以 浸入水中部分的长度为 4 10 ．
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