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2025-2026学年河北省保定一中高一（上）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
2.设命题：任一实数的平方都不小于，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为( )
A. B. C. D.
4.函数的零点为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.函数图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
6.下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则、、之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、、、是实数，则下列一定正确的有( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，，则
10.已知函数，则( )
A. 的图象关于点对称
B. 的最小正周期为
C. 的最小值为
D. 在上有四个不同的实数解
11.已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最小值为
C.
D. 方程最多有个不同的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______．
13.已知函数在上为偶函数，且，时，，则当时，______．
14.定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数的定义域为，集合．
Ⅰ求集合，，并求；
Ⅱ若集合，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调递减区间；
记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值．
17.本小题分
目前，我国一些高耗能低效产业煤炭、钢铁、有色金属、炼化等的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务某企业从年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为．
设年后年记为第年年产能为年的倍，请用，表示；
若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过年的？参考数据：，
18.本小题分
已知函数．
证明：函数在上为增函数；
求使成立的的取值范围．
19.本小题分
函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，，有．
定义：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有．
将定义，中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数可以证明定义与定义等价试运用以上信息解答下面的问题：
若，试根据定义证明为上的下凸函数；
已知为上的上凸函数，若，，为的内角，求的最大值；
设，，，为大于或等于的实数，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ，，
或，；
Ⅱ，，
当时，，解得，满足题意，
当时，，解得，
综上：的取值范围是．
16.解：，
由，得，
故函数的单调递减区间为；
，
当时，，
故当，即时，，
当，即时，．
17.解：设年的产能为，依题意得，
，
．
设年后年产能不超过年的，
则，即，
解得，
即，
，且，
的最小值为，
，
至少要到年才能使年产能不超过年的．
18.解：证明：函数，
函数，
设，
则，
又由，则，故有，
故函数在上为增函数；
根据题意，设，函数在上为增函数，
而函数在上为增函数，
故在上为增函数，
又由，其定义域为，而，
则函数为偶函数，
又由
则有，即，
变形可得：，
解得：，
则有或，．
故的取值范围为或，．
19.解：证明：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，
当且仅当，，有．
任取，，
则，
即，所以为上的下凸函数．
设函数在区间上有定义，称为上的上凸函数，
当且仅当，有．
因为为上的上凸函数，且，，，，
则，即，
当且仅当时，取得等号，
所以的最大值为．
证明：，，，为大于或等于的实数，
可设，因为，所以，
要证，
只需证，
下证：在上为下凸函数．
由下凸函数的定义可得，只要证．
设，，则，
即证，
即证，
化简得，
即证，
又式显然成立，
所以成立，在上为下凸函数，
则得证．
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