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2025-2026学年人教版九年级数学上册第24章《圆》专题训练----阴影部分面积
1．如图，，，是上的三点，，，．
（1）__________．
（2）求阴影部分的面积．
2．如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点D，E．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
3．如图 ，以等腰三角形 的底边 为直径作半圆， 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2） 若 ， 求阴影部分的面积．
4．如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为求圆中阴影部分的面积．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．
（1）求BD的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
6．如图，中，为的直径，点B为延长线上一点，是的切线，A为切点，且，
（1）求的度数；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
7．如图，D、O是中边上的两个三等分点，顶点A在以为直径的上，延长至点E，且，与交于点F，．
（1）证明：与相切；
（2）若，求阴影部分面积．
8． 如图， 是 的直径， 为 上一点 ( 不与点 重合)， 连结 ， 过点 作 ，垂足为点 ． 将 沿 翻折， 点 落在点 处得 交 于点 ．
（1） 求证： 是 的切线．
（2） 若 ， 求阴影部分的面积．
9．如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
10．图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
11．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
12．如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
13．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
14．如图是的直径，与相切于点 A，与相交于点 D， E为上的一点， 分别连接、， ．
（1）求的度数；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
15．在中，，以为直径的分别与交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）如图1，若的半径为，求阴影部分的面积；
（3）如图2，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）解：阴影部分的面积为
2．【答案】（1）解：解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
3．【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∴.即，
∴
（2）解：连接OD，OE，如图所示：
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵，
∴△BDO和△CEO都是等边三角形.
∴∠BOD=∠COE=60°=∠OBD=∠OCE.
∴OD//AC，OE//AB，
∴四边形ADOE是平行四边形.
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是菱形，∠DOE=180°－∠BOD－∠COE=60°.
过点E作EF⊥OD于点F，
∴.
∴.
4．【答案】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，过作于，
，，
，，
于，
，
，，
圆中阴影部分的面积．
5．【答案】（1）解：∵AB为⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴AB= =10(cm)，∴OB=5 cm． ．
连结OD，则OD=OB，∠ODB=∠ABD=45°，∴∠BOD=90°，
∴BD= (cm)．
（2）解：S阴影= π×52- ×5×5= (cm2 )．
6．【答案】（1）的度数为
（2）阴影部分的面积为
7．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，，
，
，
，
，点在上，
故与相切；
（2）解：D、O是中边上的两个三等分点，
，
，
，
，
且，
，
，
，
，
令半径为，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，
．
8．【答案】（1）证明： 连结 OC 如图 所示．
，
∴
∴CE是的切线。
（2）解：连结 OF， 过点 O 作 于点 G ，如图 所示 ．
，
，

9．【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
10．【答案】（1）∠BAC的度数为18°；（2）DC的长度为；（3）．
11．【答案】解：（1）证明：如答图，连接OC，OC交BD于E，∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°.
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB.
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形.
∴∠A=∠D=30°.
∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD.
∴BE=DE.
∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，
∴BE=OBcos30°=3.
∴BD=2BE=6.
（3）∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，
∴△OEB≌△CED（AAS）.
∴S阴影=S扇形BOC.
∴S阴影=．
答：阴影部分的面积是6π．
12．【答案】解：（1）直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°即∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）∵OA⊥OC，∠A=30°，OP=1
∴OA=，∠APO=60°即∠CPB=60°，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60°，
∵∠OBC=90°，
∴∠BOD=30°，
∴BC=OB·tan30°=1，
∴==，
答：图中阴影部分的面积为．
13．【答案】（1）解：连接AD，
∵D为弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即圆心O到EF的距离为OD，
∵，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
作交AB于点H，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
14．【答案】（1）
（2）
15．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
又，
，
，
，
，
，
点在上，
与的相切；
（2）解：连接，
，
，
，
，
，
的半径为3，
，
，
．
（3）解：连接，
为圆的直径，
，
又，
所以，
，，
，

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