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2025-2026学年湖南省永州一中、四中直升班高一（上）测评
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 1.若 3，则 2 =( )
A. 8 7 7 89 B. 9 C. 9 D. 9
2.若 ( ) = cos sin 在[ , ]上是减函数，则 的最大值是( )
A. 4 B. 2 C.
3
4 D.
3 .已知 2tan tan + 4 = 7，则 tan = ( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.设 = 0.20.3， = 20.3，则( )
A. + < < 0 B. < + < 0 C. + < 0 < D. < 0 < +
5.已知 = 0.220.2, = 2 , = 0.20.3，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6 1 .设函数 ( ) = 1+ ，则下列函数中为奇函数的是( )
A. ( 1) 1 B. ( 1) + 1 C. ( + 1) 1 D. ( + 1) + 1
7.设不等式|4 | > |1 2 +3|对所有的 ∈ [1,2]均成立，则实数 的取值范围是( )
A. < 15 或 > 47 B. < 15
C. > 47 或 0 < < 1 D. < 15 0 < < 1或 64
8.已知当 ∈ [0,1)时， ( ) = 3 3，若函数 ( )的定义域为 ，且有 ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，
则 (log3300)所在的区间是( )
A. ( ∞,0) B. (0, 12 ) C. (
1
2 , 1) D. (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 7 6是第三象限角 B.
3
若圆心角为3的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为 2
C.若角 的终边过点 ( 3,4)，则 = 35 D.若角 为锐角，则角 2 为钝角
10.已知 ( )是定义在 上的偶函数， ( )是定义在 上的奇函数，且 ( )， ( )在( ∞,0]单调递减，则( )
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A. ( (1)) < ( (2)) B. ( (1)) < ( (2)) C. ( (1)) < ( (2)) D. ( (1)) < ( (2))
11.已知 > 0， > 0， > 0，则下列结论正确的是( )
2
A. + 1 ≥ 2 B.
+3
的最小值为 2
2+2
C. 1 2若 + 2 = 1，则 + 的最小值是 9 D.若 2 + + = 4，则 ( + + ) + 的最大值为 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 1 3.设 ： 1 < < 1， ：2 < < 2，若 的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是______．
13.如果 ， ∈ ，且2 = 18 = 6 ，那么 + 的值为______．
14.在锐角三角形 中，若 = 2 ，则 的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )．
(1) ( ) = ( ) ( + ) ( ) | ( ) + | < 2 ∈ [0, 设 3 ，若 为偶函数，且不等式 在 2 ]上恒成立，求实数
的取值范围；
(2) 已知函数 ( )的图象过点( 26 , 1)，设 ( ) = cos + 2 ，若对任意的 1 ∈ [ 2 , 2 ]， 2 ∈ [0, 2 ]，都有
( 1) < ( 2) + 3，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = ( + 1) 2 ( 1) + 1．
(1)若不等式( + 1) 2 ( 1) + 1 < 1 的解集为 ，求 的取值范围；
(2)解关于 的不等式( + 1) 2 2 + 1 ≥ 0．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( )对一切实数 ， 都有 ( + ) ( ) = ( + 2 + 1)成立，且 (1) = 0．
(1)求 (0)的值；
(2)求 ( )的解析式；
(3)设命题 ：当 0 ≤ ≤ 2 时，不等式 ( ) + 3 < 2 + 恒成立；命题 ：函数 ( ) 在区间[ 3,3]上
具有单调性.如果 与 有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知实数 > 0 且 ≠ 1，函数 ( ) = log ( + 1)， ( ) = 1( )．

(1)已知 (1) = (1) = 1，求实数 ， 的值．
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(2)当 = 1 时，用定义法判定函数 ( ) = ( ) + ( )的奇偶性．
(3)当 = 5 时，利用对数函数单调性讨论不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解集．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin2 + 2 2 ．
(1)当 = 12时， ( ) ≥ 0，求 的取值范围；
(2)求 ( )的值域；
(3)当 ∈ [0, 2 ]时，| ( )| ≤ 2，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[ 1 32 , 2 ]
13.0 或 2
14.8
15. (1) ∵ ( ) ∴ = + ∈ ∵ 0 < < ∴ = 解： 为偶函数， 2， ， ， 2，∴ ( ) = 2 ，
∴ ( ) = ( ) ( + ) = 2 2( + 3 3 ) = 2 (
1 3
2 2 2 2 ) =
3
2 2 +
3
2 2 = 3sin(2 +

3 )．
又∵ | ( ) + | < 2 在 ∈ [0, 2 ]上恒成立，
即 2 < ( ) + < 2 在 ∈ [0, 2 ]上恒成立，
∴ 2 < ( ) < 2 在 ∈ [0, 2 ]上恒成立，
∴ 2 < ( ) 且 ( ) < 2 ，
∵ ∈ [0, 2 ]
4 3
，∴ 2 + 3 ∈ [ 3 , 3 ]，∴ ( ) = 3sin(2 + 3 ) ∈ [ 2 , 3]，
2 < 3
则 2 12 < < 2 3，∴
1
的取值范围为( , 2 3)；
2 > 3 2
(2) ∵ ( )过点( 6 , 1)，∴ 1 = sin(

3 + )(0 < < )， =

6，
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∴ ( ) = sin(2 + 6 )，
∵ 又 2 ∈ [0, 2 ]，∴ 2 2 + 6 ∈ [ 6 ,
7
6 ]，
∴ ( ) = sin(2 + 2 2 6 ) ∈ [
1
2 , 1]，

又∵对任意的 1 ∈ [ 2 , 2 ]， 2 ∈ [0,

2 ]，都有 ( 1) < ( 2) + 3 成立，
∴ ( 1)
1 5
< ( 2) + 3， ( 1) < 2 + 3 = 2．
( 1) = cos2 1 + 2 1 = 1 sin2 21 + 2 1 = + 1 ( 1 )2，
∵ ∈ [ , 1 2 2 ]，∴ 1 ∈ [ 1,1]，设 = 1 ∈ [ 1,1]，
则有 ( ) = 2 + 1 ( )2， ∈ [ 1,1]，
当 ≤ 1 时， ( )在 ∈ [ 1,1]上单调递减， ( ) = ( 1) = 2 ，
∴ 2 < 5 5 52，解得 > 4，此时 4 < ≤ 1；
当 1 < < 1 时， ( )在[ 1, ]上单调递增，
在[ , 1]上单调递减， ( ) 2 = ( ) = + 1，
∴ 2 + 1 < 5 62，解得 2 < <
6
2 ，此时 1 < < 1；
当 ≥ 1 时， ( )在 ∈ [ 1,1]上单调递增，∴ ( ) = (1) = 2 ，
∴ 2 < 5 5 52，解得 < 4，∴ 1 ≤ < 4．
5 5
综上所述，实数 的取值范围为( 4 , 4 )．
16.解：(1)由不等式( + 1) 2 ( 1) + 1 < 1 的解集为 ，
当 + 1 = 0 时，即 = 1 3时，不等式即为 2 2 < 1，解得 < 2，不符合题意，舍去；
当 + 1 ≠ 0 时，即 ≠ 1 时，不等式可化为( + 1) 2 ( 1) + 2 < 0，
要使得不等式( + 1) 2 ( 1) + 1 < 1 的解集为 ，
+ 1 < 0
则满足 = ( 1)2 4( + 1)( 2) < 0，
< 1 1 2 7
即 3 2 2 9 > 0，解得 < 3 ，
1 2 7
综上可得，实数 的取值范围为( ∞, 3 );
(2)由不等式( + 1) 2 2 + 1 ≥ 0，可得[( + 1) ( 1)]·( 1) ≥ 0，
当 + 1 = 0 时，即 = 1 时，不等式即为 1 ≥ 0，解得 ≥ 1，解集为{ | ≥ 1}；
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当 + 1 > 0 时，即 > 1 1时，不等式可化为( +1 )( 1) ≥ 0，
1 2 1
因为 +1 = 1 +1 < 1，所以不等式的解集为{ | ≤ +1或 ≥ 1}；
当 + 1 < 0 1时，即 < 1 时，不等式可化为( +1 )( 1) ≤ 0，
1 2 1
因为 +1 = 1 +1 > 1，所以不等式的解集为{ |1 ≤ ≤ +1 }，
综上可得，当 < 1 时，不等式的解集为{ |1 ≤ ≤ 1 +1 }；
当 = 1 时，不等式的解集为{ | ≥ 1}；
当 > 1 1时，不等式的解集为{ | ≤ +1或 ≥ 1}．
17.解：(1)函数 ( )对一切实数 ， 都有 ( + ) ( ) = ( + 2 + 1)成立，且 (1) = 0．
利用赋值法：令 = 1， = 1，则由已知 (0) (1) = 1( 1 + 2 + 1)，
有 (0) = 2；
(2)令 = 0，则 ( ) (0) = ( + 1)，
又∵ (0) = 2，
∴ ( ) = 2 + 2．
(3)不等式 ( ) + 3 < 2 + ，
即 2 + 2+ 3 < 2 + ，
即 2 + 1 < ．
当 0 ≤ ≤ 2 时， 2 + 1 的最大值为 3，
若 为真命题，则 > 3；
又因为 ( ) = 2 + 2 = 2 + (1 ) 2 在[ 3,3]上是单调函数，
1
故有 2 ≤ 3
1
，或 2 ≥ 3，解得 ≤ 5 或 ≥ 7，
> 3
当 为真且 为假时，得 5 < < 7则 3 < < 7，
≤ 3
当 为假且 为真时，得 ≤ 5 ≥ 7则 ≤ 5，或
综上得 的取值范围为 ∈ ( ∞, 5] ∪ (3，7)．
18.解：(1)已知 (1) = 1 log (1 + 1) = 1 = 2，
则 ( ) = 1( )，又因为 (1) = 31( 1) = 1 = ．
2 2 2
(2)当 = 1 时 ( ) = ( ) + ( ) = ( + 1) +
1+
1(1 ) = ，
1
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( ) ( 1,1) ( ) = 1 = 1+ 函数 定义域为 ， 1+ 1 = ( )，
所以函数为奇函数．
(3)当 = 5，则 ( ) = 1(5 ) = (5 )，

由 ( ) + ( ) ≥ 0 ( ) ≥ ( )即log ( + 1) ≥ log (5 )①
+ 1 > 0
当 0 < < 1 时要使不等式①成立则 5 > 0 ，即 1 < ≤ 2．
+ 1 ≤ 5
+ 1 > 0
当 > 1 时要使不等式①成立则 5 > 0 ，即 2 ≤ < 5，
+ 1 ≥ 5
综上所述：当 0 < < 1 时不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解集为( 1,2]．
当 > 1 时不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解集为[2,5)．
19.(1) ( ) = sin2 + 14 = cos
2 + + 34
= ( 1 22 ) + 1 ，
5
所以当 = 1 时， ( ) = 4 ，
因为 ( ) ≥ 0，则 ( ) = 5 4 ≥ 0，
即 ≤ 5 54，所以 的取值范围是( ∞, 4 ]；
(2) = ∈ [ 1,1]，则令 ( ) = 2 + 2 2 + 1．
①若 ≤ 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递减，∵ ( 1) = 2 2 ， (1) = 2 + 2 ，∴ ( ) ∈ [
2 + 2 , 2 2 ]；
②若 1 < ≤ 0，则 ( )在[ 1, ]上单调递增，在[ , 1]上单调递减，∵ ( ) = 1 ，且 (1) ≤ ( 1)，
∴ ( ) ∈ [ 2 + 2 , 1 ]；
③若 0 < < 1，则 ( )在[ 1, ]上单调递增，在[ , 1]上单调递减，∵ ( ) = 1 ，且 ( 1) ≤ (1)，则
( ) ∈ [ 2 2 , 1 ]；
④若 ≥ 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递增，∵ ( 1) = 2 2 ， (1) = 2 + 2 则 ( ) ∈ [ 2
2 , 2 + 2 ]；
综上，①当 ≤ 1 时， ( )的值域为[ 2 + 2 , 2 2 ]；
②当 1 < ≤ 0 时， ( )的值域为[ 2 + 2 , 1 ]；
③当 0 < < 1 时， ( )的值域为[ 2 2 , 1 ]；
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④当 ≥ 1 时， ( )的值域为[ 2 2 , 2 + 2 ]；
2 ≤ (0) ≤ 2 2 2
(3) 3①当 2 ≤ ≤ 0
1 ≤ ≤ + 3
时，由(2)知 2 ≤ (1) ≤ 2，整理得 2 ， + 2 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2
∵ 32 ≤ ≤ 0，∴
2 + 2 2 ≤ 2 1， 2 + 2 + 2 ≤ 2 + 3.可得 1 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2，
∴ ≤ 2 + + 2 ≤ 2；
2 ≤ ( ) ≤ 2
②当 0 < ≤ 1 1 ≤ ≤ 32时，则 2 ≤ (1) ≤ 2，整理得 2 + 2 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2，
∵ 0 < ≤ 1 2 2 22，∴ + 2 2 ≤ 1，且 + 2 + 2 ≤ 3，∴ 1 ≤ ≤ + 2 + 2，因此可得 ≤
2 +
+ 2 ≤ 94；
1 2 ≤ ( ) ≤ 2 1 ≤ ≤ 3
③当2 < < 1 时，则 2 ≤ (0) ≤ 2，整理得 2 1 ≤ ≤ 2 + 3，
∵ 12 < < 1，∴
2 1 < 1，且 2 + 3 < 3，
∴ 1 ≤ ≤ 2 + 3，因此可得 ≤ 2 + 3 ≤ 94，
5 2 ≤ (0) ≤ 2 2④ 1 ≤ ≤ (2) 1 ≤ ≤
2 + 3
当 2时，由 知 2 ≤ (1) ≤ 2，整理得 2
，
+ 2 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2
∵ 1 ≤ ≤ 52，∴
2 + 2 2 ≥ 2 1， 2 + 2 + 2 ≥ 2 + 3.因此可得 2 + 2 2 ≤ ≤ 3 2，
∴ ≤ 2 + 3 ≤ 1；
综上，当 = 12， =
11 9
4时， 取到最大值，最大值为4．
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