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2024-2025学年河南省郑州市二七区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．3.14 B．﹣2 C． D．
2．下列关于“二七塔”位置的描述，相对准确的是（　　）
A．丹尼斯 大卫城东南方向 B．二七路南段
C．解放路东段 D．二七路与解放路交叉口
3．△ABC的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．∠A+∠B＝90°
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝5，b＝12，c＝13
4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A＝60°，∠E＝45°，若AB∥CF，则∠CBD的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．有理数与数轴上的点是一一对应的
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称
6．面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．在一次考试中，某题（满分10分）的得分情况如下：
得分 0 2 4 6 8 10
百分率 5% 10% 25% 30% 15% 15%
则该题的平均得分（　　）
A．5.5分 B．5.7分 C．5.9分 D．6.1分
8．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
9．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
10．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．则以下说法正确的是（　　）
A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里
B．当5≤h≤10时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为
C．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm
D．当铁块下降高度为6cm时，此时弹簧测力计的示数是11.5N
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．命题“如果a＝b，那么a+c＝b+c”的逆命题为　 　．
12．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标为 　．
13．如图，正方体的棱长为2cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是　 　cm．
14．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多　 　分钟．
15．如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为　 　．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）（．
17．（8分）随着互联网的发展和智能手机的普及，外卖行业得到迅速发展，郑州市豫味餐厅为了解线上外卖平台客户的需求，提高服务质量，随机抽取400名外卖用户进行问卷调查．调查问卷如下：
豫味餐厅外卖服务满意度调查1．您对本餐厅外卖服务的整体评价为（单选） A．满意；B．一般；C．不满意； 如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题： 2．您认为本餐厅最需要改进的地方为（　　）（单选） A．餐品味道；B．配送速度；C．包装质量；D．售后服务．
该餐厅外卖平台负责人将这400份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图表：
（1）如果将整体评价中满意、一般、不满意分别赋分为5分、3分、1分，则该餐厅此次调查中整体评价分数的中位数是 　 　，平均数是 　 　；
（2）在此次调查中，你认为该餐厅需要在配送速度上进行改进的人数有多少？
（3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖业务提出2条合理的建议．
18．（9分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△A1B1C1；
（2）设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点A′的坐标是　 　；
（3）求△ABC的面积．
19．（9分）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．
已知A、B、C、D点在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度CD；
（2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．
20．（10分）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A型航模和3件B型航模需1300元．
（1）求A、B两种航模每件分别多少元？
（2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？
21．（10分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】
实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间x（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数y（厘米） 4 12 20 28 36
【探索发现】
（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是 　 　（填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）．
【结论应用】
（3）应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到9小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）．
22．（10分）求证：全等三角形对应边上的中线相等．
在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容．
（1）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示：
（2）结合（1）中的示意图，请完善已知、求证：
已知：如图，　 　，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线．
求证：　 　．
（3）写出证明过程．
23．（11分）【模型呈现】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，过点B作BD⊥m于点D，过点C作CE⊥m于点E，试说明：△ABD≌△CAE．
【模型应用】如图2，一次函数y＝2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段AC⊥AB且AC＝AB，直线BC交x轴于点D．
①点B的坐标为 　 　；点C的坐标为 　 　；
②求直线BC的函数表达式．
【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C'是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线BD上一个动点，若△C'PQ是以点C'为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标．
2024-2025学年河南省郑州市二七区八年级（上）期末数学试卷
1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.B 10.C
11.如果a+c＝b+c，那么a＝b 12.（2﹣2，0） 13. 14.30 15.α
16.（1） （2）14﹣4
17.（1）5分 4.63分
解：（2）回答第2个问题的人数为46+14＝60（人）．
选择B：60×（1-15%---5%）＝27（人）．
∴认为该餐厅需要在配送速度上进行改进的人数有27人．
（3）①该餐厅需要在配送方面进行优化，提高配送速度；
②该餐厅需要对包装形式进行优化升级，提高包装质量（答案不唯一）．
18.（1）解：画出平面直角坐标系如图所示．
可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称．如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）（﹣4，1）
（3）解：△ABC的面积为9﹣1﹣4＝4．
19.解：（1）如图1，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝8米，AB＝CD＝1.5米，∠AEC＝90°．
∴CE6（米）．∴CD＝CE+CD＝6+1.5＝7.5（米）．
（2）能成功．理由如下：
假设能上升9m，如图2，延长DC至点F，连接AF，则CF＝9米．
∴EF＝CE+CF＝6+9＝15（米）．∴AF17（米）．
∵AC＝10米，余线仅剩7.5米，∴10+7.5＝17.5＞17．
∴能上升9m，即能成功．
20.解：（1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元．
根据题意，得．解得．
答：每件A型航模200元，每件B型航模300元．
（2）设购买m件A型航模，n件B型航模．
根据题意，得200×0.9m+300×0.9n＝990．∴m．
又∵m，n均为正整数，∴或．
∴张老师共有2种购买方案：
方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；
方案2：购买1件A型航模，3件B型航模．
21.解：（1）描点如图所示．
（2）一次函数
设该一次函数的表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（0，4）和（1，12）分别代入y＝kx+b，得．解得．
∴该一次函数的表达式为y＝8x+4．
（3）①当x＝9时，y＝8×9+4＝76．
答：供水时间达到9小时时，箭尺的读数为76厘米．
②当y＝92时，得8x+4＝92．解得x＝11．
答：当箭尺读数为92厘米时是下午8：00．
22.（2）△ABC≌△A′B′C′ AD＝A′D′
（3）证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′．
∵AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线，∴BDBC，B′D′B′C′．∴BD＝B′D′．
在△ABD和△A′B′D′中，，∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）．∴AD＝A′D′．
23.【模型呈现】解：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°．∴∠ABD＝∠CAE．
在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）．
【模型应用】①（0，2） （﹣3，1）
②解：设直线BC的函数表达式为y＝kx+b．
把B（0，2），C（﹣3，1）代入，得．解得．
∴直线BC的函数表达式为yx+2．
【模型迁移】解：点Q的坐标为（，0）或（，0）．

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