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2024-2025学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题共有4个选项，其中只有一个是正确的）
1．如图四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星发射中心点火升空，成功将高光谱综合观测卫星送入预定轨道，该卫星搭载的可见短波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到0.0000000025m．数据“0.0000000025”用科学记数法表示为（　　）
A．0.25×10﹣8 B．2.5×10﹣9 C．2.5×10﹣8 D．25×10﹣10
3．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　）
A．ASA B．AAS C．SSS D．HL
4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD
5．下列计算或运算中，正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9
C．（﹣2a2）3＝﹣8a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
6．将一副三角板按照如图方式摆放，点C，B，E共线，∠FEB＝65°，则∠EDB的度数为（　　）
A．18° B．15° C．12° D．10°
7．把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2+x
8．如图，甲、乙两位同学分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙均正确 B．只有甲正确
C．只有乙正确 D．甲、乙均不正确
9．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为a的正方形场地．场地甲中间有一个边长为b的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为a、宽为b的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是（　　）
A．（a﹣b）∶a B．（a﹣b）∶（a+b）
C．（a+b）∶a D．（a+b）∶（a﹣b）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．若分式的值等于0，则y＝　 　．
12．如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么它的边数是 　 　．
13．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠BOC＝3∠A，则∠A＝ 　 　．
14．如图，AB＝AC＝6cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ 　 　cm．
15．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝34°，点M，N分别在AB，BC边上，将△BMN沿MN折叠，使点B落在直线AC上的点B′处，当△AB′M为直角三角形时，∠BNM的度数为 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解答下列各题：
（1）计算：2a（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2；
（2）因式分解：（2m+n）2﹣m2．
17．（8分）如图，△ABC的三个顶点分别在方格纸的格点上．
（1）在图中画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A1B1C1；（点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1）
（2）在直线MN上求作一点P，使得PA+PB的值最小，请在图中标出点P的位置．这样画图的依据是　 　．
18．（9分）先化简：，再从0，1和2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
19．（9分）如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，得到你认为成立的一个命题，然后再证明．
选择　 　（填序号）为条件，　 　为结论．
20．（10分）根据以下素材，完成调查活动．
怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数
调查活动 素材1 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动
素材2 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息： ①七年级、八年级两支志愿者植树各720棵树苗； ②八年级比七年级人均植树多2棵树苗； ③八年级的学生人数比七年级的人数少20%．
交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究．
问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与点A，B不重合），连接CD，过点C作CE⊥CD，且CD＝CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△CAD≌△CBE；
（2）当△BEF是等腰三角形时，请直接写出∠ADC的度数．
22．（10分）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请推导出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边分别向上下两侧作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝58，求图中阴影部分面积．
23．（11分）【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线，在AB上截取AE＝AC，连接DE．请直接写出线段AB，AC，CD之间的数量关系；
【拓展应用】
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝2∠B≠90°，AD为∠BAC的邻补角的角平分线．请判断线段AB，AC，CD之间的数量关系，并说明理由；
【探究延伸】
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝2∠B＝60°，，AC＝2，AD1为∠BAC的角平分线，AD2是∠BAC的邻补角的角平分线时，请直接写出△ACD1和△ACD2的面积．
2024-2025学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷
1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D 7.C 8.A 9.D 10.C
11.-5 12.6 13.36° 14.3 15.73°或101°
16.（1）-2a2-b2 （2）（3m+n）（m+n）
17.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，点P即为所求． 两点之间线段最短
18.解：原式 ．
∵当x＝1，2或﹣2时，原分式无意义，∴x＝0．
当x＝0时，原式2．
19.答案不唯一．
选择①②为条件，③为结论．
证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D．∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB．
又∠E＝∠F，∴△AEC≌△DFB．∴CE＝BF．
20.解：答案不唯一．
提出问题：求出七年级、八年级两支志愿者的人数.
设七年级志愿者有x人，则八年级志愿者有（1﹣20%）x人，
根据题意，得2．解得x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意，
∴（1﹣20%）x＝（1﹣20%）×90＝72（人）．
答：七年级志愿者有90人，八年级志愿者有72人．
21.（1）证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥CD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE．∴∠ACD＝∠BCE．
在△CAD和△CBE中，，∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠A＝∠CBA＝45°．
∵CE⊥CD，且CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形．∴∠CDE＝∠CED＝45°．
设∠ADC＝α，则∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝135°﹣α．
∵△CAD≌△CBE，∴∠ACD＝BCE＝α，∠A＝∠CBE＝45°．
∵∠BFE是△CFE的一个外角，∴∠BFE＝∠BCE+∠CED＝α+45°．
∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠CBE）＝180°﹣（α+45°+45°）＝90°﹣α．
∵∠CBE＝45°，∠BFE＝α+45°，∴BFE＞∠CBE．∴BE＞EF．
∴当△BEF是等腰三角形时，有以下两种情况：
①当BF＝BE时，∠BFE＝∠BEF，∴α+45°＝90°﹣α，解得α＝22.5°，
∴∠ADC＝22.5°，∴∠ADC＝135°﹣α＝112.5°；
②当BF＝EF时，∠CBE＝BEF，∴45°＝90°﹣α，解得α＝45°，∴∠ADC＝135°﹣α＝90°．
综上所述，当△BEF是等腰三角形时，∠ADC的度数为112.5°或90°．
22．解：（1）阴影部分的正方形的边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b．
（2）大正方形的面积可以看作四个小长方形的面积加阴影部分的面积，故可表示为4ab+（a﹣b）2；
大正方形的边长为a+b，故面积也可以表示为（a+b）2．因此（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（3）设AC＝a，BC＝b．因为AB＝10，S1+S2＝58，所以a+b＝10，a2+b2＝58．
又（a+b）2＝a2+b2+2ab，所以100＝58+2ab．解得ab＝21．
由题意，得∠ACF＝90°．所以阴影部分的面积为21÷2＝10.5．
23．解：（1）AB＝AC+CD．
（2）CD＝AB+AC．理由如下：
如图2，在BA的延长线上取一点G，使AG＝AC，连接DG．
∵AD是∠CAG的平分线，∴∠GAD＝∠CAD．
在△GAD和△CAD中，，∴△GAD≌△CAD（SAS）．
∴GD＝CD，∠AGD＝∠ACD．∴∠ACB＝∠DGM．又∠ACB＝2∠B，∠DGM＝∠B+∠BDG，
∴2∠B＝∠B+∠BDG．∴∠B=∠BDG．∴BG＝DG．
又BG＝AB+AG，∴DG＝AB+AC．∴CD＝AB+AC．
（3）△ACD1的面积为3，△ACD2的面积为3．

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