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许昌市2024－2025学年第一学期期末教学质量检测
八年级数学
注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A. B. C D.
2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A B. C. D.
4. 李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为和，则第三边长度可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在△ABC中，，是高，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A. B.
C D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 若分式的值为0，则的值为_____．
12. 图形中值为_____．
13. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则的值为_______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，为坐标原点，点关于轴的对称点为，连接，，，若点在轴的负半轴上，则的度数为_____.
15. 如图，在等腰中，，，是边的中点，点，分别在，边上运动，且保持．连接．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积随的运动而变化；④面积的最小值为.其中正确的是_____．（填序号）
三、解答题（本题共7个小题，满分70分）
16. 计算：
（1）；
（2）.
17. 以下是小明同学化简分式的部分运算过程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
…
（1）上面的运算过程中第_____步出现了错误；
（2）请你写出正确的解答过程．
18. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A，B，C三点在格点上．
（1）在图中作出△ABC关于轴对称的图形；
（2）写出点的坐标；
（3）在轴上求作一点，使最短．（不写作法，保留画图痕迹）
19. 列方程解应用题．
许昌与郑州两地相距约，乘坐某高速列车从许昌到郑州比乘坐普通火车约少用，已知高速列车速度是普通火车速度的倍，求此高速列车的速度．
20. 如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）若，的周长为19，求的长．
21. 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8．
任务：
（1）若多项式是一个完全平方式，则常数_____；
（2）用配方法分解因式：；
（3）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
22. （1）观察发现
如图1，已知：在△ABC中，，D，A，E三点都在直线上，并且有．则图中的一对全等三角形为_____，线段、和之间的数量关系为_____．
（2）类比探究
将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线上，并且有．则（1）中线段，，之间的关系是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用
如图3，点的坐标为，点的坐标为．在平面直角坐标系中，以点为直角顶点作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
附加题（每小题10分，共20分）
23. 我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以．
（1）如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为．
①用含代数式分别表示
_____，_____；
②比较_____（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）已知两个等腰直角三角形（和）边长分别为和如图4放置在一起，连结．如果点是线段的中点，连结、．请比较与的面积大小．
（3）甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作．甲队有一半时间每天维修公路千米，另一半时间每天维修公路千米，乙队维修前1千米公路时，每天维修千米；维修后1千米公路时，每天维修千米．问甲、乙两队哪队先完成任务？
24. 已知，平面内线段，点，满足：，，，连接，D为的中点，连接、．
（1）如图1，当点在线段上时，与的位置关系如何？请说明理由．
小明仔细思考后得出结论：．思路是：延长交延长线于点，易证，可得，，即为中点，于是……，请你帮小明写出完整的推理过程．
（2）如图2，当点在线段上方时，若，求的度数．
许昌市2024－2025学年第一学期期末教学质量检测
八年级数学
1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.C 9.C 10.C
11.3 12.50 13.64 14.30° 15.①②④
16.（1） （2）
17.（1）三
（2）解：原式．
18.解：（1）如图，即为所求作．
（2）点的坐标为．
（3）如图，点即为所求作．
19.解：设普通火车每小时行驶，则高速列车每小时行驶．
由题意，得.解得.
经检验，是分式方程的解，且符合题意.
当时，．
答：此高速列车的速度为每小时公里．
20.解：（1），.
，.
垂直平分，..．
（2）垂直平分，，．
，.
，．
21.（1）4
解：（2）.
（3）．
，当时，有最大值，最大值是5．
22.（1）
解：（2）结论依然成立.证明如下：
∵，，，，∴.
又，∴.
..
（3）点C的坐标为或．
23.（1）① ②＜
解：（2）
，
，
.
，..
（3）甲队完成任务需要的时间，
乙队完成任务需要的时间.
.
，，，，.
...甲队先完成任务．
24.解：（1）AD⊥BD.理由如下：如图，延长，交延长线于点H.
，.，．
是的中点，．.，．
，..．
，．
（2）如图，延长到点，使，连接，．
，，，
.，.，．
在四边形中，，
又，，．
，．
又，，.
，.
，即．
，．，．
又，，是等边三角形．.．

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