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2024-2025学年河南省洛阳市新安县九年级（上）期末数学试卷
一、填空题（每小题4分，满40分）
1．（4分）已知实数a满足，则a﹣20202＝　 　．
2．（4分）|x2|﹣7|x|+6＝0的解为 　 　．
3．（4分）已知一组数据x1，x2，x3，…xn的平均数是p，方差是q．那么数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，…，axn+b的平均数M是 　 　，方差N是 　 　.（用含a，b，p，q的代数式表示）
4．（4分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　 　．
5．（4分）已知2，则的值为　 　．
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8．若点D在直线AB上（不与点A，B重合），且∠BCD＝30°，则AD的长为 　 　．
7．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则415等于 　 　．
8．（4分）将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为，则图1中sin∠CEB＝ 　 　．
9．（4分）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　 　．
10．（4分）在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是　 　．
二、解答题（共6个小题，满60分）
11．（10分）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．
设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　（　 　+　 　）2；
（3）化简
12．（8分）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏．她们用四种字母做成10只棋子，其中A棋1只，B棋2只，C棋3只，D棋4只．
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；
②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负．
（1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？
（2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
（3）已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？
13．（11分）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
（1）如图1，求证：△DEP∽△CPH；
（2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；
（3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
14．（9分）某校教学课外活动小组用一张矩形纸片（如图①，矩形ABCD中，AB＞AD，且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图②，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．第三步，连接GF．【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
乙同学的结论．
请分别判断甲，乙两同学的结论是否正确，若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
15．（10分）如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2+mx+n＝0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值；
（3）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
16．（12分）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求的值．
2024-2025学年河南省洛阳市新安县九年级（上）期末数学试卷
1．2021 2．1或6或﹣1或﹣6 3．ap+b，a2q 4． 5．4 6．6或12 7．﹣4 8． 9． 10．
11．解：（1）m2+3n2，2mn
（2）21，4，1，2
（3）
12．解：（1）小玲摸到C棋的概率等于；
（2）小玲在这一轮中胜小军的概率是．
（3）①若小玲摸到A棋，小玲胜小军的概率是；
②若小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率是；
③若小玲摸到C棋，小玲胜小军的概率是；④若小玲摸到D棋，小玲胜小军的概率是．
由此可见，小玲希望摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．
13．（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴DP＝CP1，
设EP＝AE＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得x，
∴EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣AE，
∵△EDP∽△PCH，
∴，即，
∴PH，
∵PG＝AB＝2，
∴GH＝PG﹣PH．
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴HPPMy，
在Rt△PCH中，CHy，
∴BC＝2CHy，
∴AD＝BCy，
在Rt△APD中，APy，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△AMP，
∴，
∴BGy，
∴，
∴ABBG．
14．解：甲同学和乙同学的结论都正确，证明如下，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∵折叠，
∴∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，
∴四边形AEFD是矩形，
又∵AD＝AE，
∴四边形AEFD是正方形；
故甲同学的结论正确．
作GK⊥AE，
设AE＝2x，则AG＝EG＝x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠EAF＝45°，
∴AF＝2x，AK＝KGAGx，
∴FK＝AF﹣AKx，
∴tan∠AFG；
故乙同学的说法也正确．
15．解：（1）设方程x2+mx+n＝0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，
则：，
，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，
则这个一元二次方程是：x2x0；
（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，
∴a，b是x2﹣15x﹣5＝0的解，
当a≠b时，a+b＝15，ab＝﹣5，
47．
当a＝b时，原式＝2；
（3）∵a+b+c＝0，abc＝16，
∴a+b＝﹣c，ab，
∴a、b是方程x2+cx0的解，
∴c2﹣4 0，
c20，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，
c3≥43，
c≥4，
∴正数c的最小值是4．
16．【探究一】证明：∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上，
∴CM＝CH，∠MCH＝90°，
∴∠NCH＝∠MCH﹣∠MCN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MCN＝∠HCN，
在△CNM和△CNH中，
，
∴△CNM≌△CNH（SAS），
∴∠CNM＝∠CNH；
【探究二】证明：如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA＝45°，
∵∠MCN＝45°，
∴∠FBN＝∠FCE＝45°，
∵∠EFC＝∠BFN，
∴∠CEF＝∠FNB，
∵∠CNM＝∠CNH，
∴∠CEF＝∠CNM，
∵公共角∠ECF＝∠NCM，
∴△CEF∽△CNM；
【探究三】解：∵AC，BD是正方形的对角线，
∴∠CDE＝180°﹣∠BDC＝135°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝135°，
∴∠CDE＝∠CAN，
∵∠MCN＝∠DCA＝45°，
∴∠MCN﹣∠DCN＝∠DCA﹣∠DCN，
即∠ECD＝∠NCA，
∴△ECD∽△NCA，
∴∠CED＝∠CNA，，
如图所示，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上，
∴MC＝GC，∠MCG＝90°，
∴∠NCG＝∠NCM＝45°，
∵CN＝CN，
∴△NCG≌△NCM（SAS），
∴∠MNC＝∠GNC，
∵∠CNA＝∠CEF，
∴∠CNM＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠NCM，
∴△ECF∽△NCM，
∴，
即．

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