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2024-2025学年河南省新乡市延津县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．海底捞月 B．水涨船高 C．旭日东升 D．水滴石穿
2．（3分）两个相似三角形的面积之比为1：4，则这两个三角形的相似比为（　　）
A．1：16 B．1：2 C．2：1 D．1：4
3．（3分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）国家粮食安全是一个国家发展的重要保障．河南是我国重要的粮食生产核心区，对国家粮食安全具有重要意义．河南某农科试验基地两年前有50种种子，经过两年的不断培育，现在有128种种子．若培育的种子种类平均每年的增长率为x，则符合题意的方程为（　　）
A．50x2+1＝128 B．（50+1）x2＝128
C．50（1+x）2＝128 D．50（2+x）2＝128
5．（3分）若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠A的度数为（　　）
A．100° B．90° C．80° D．70°
7．（3分）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且 x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
8．（3分）如图，斗兽棋是我国一种古老的棋类游戏，双方各有八只棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉手中存有的棋子为虎、猫，牛牛手中存有的棋子为狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．0
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，，DE，DF的延长线分别交AB，BC于点G，H，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图象，下列说法正确的是（　　）
A．海拔越高，大气压越大
B．当海拔为7千米时，大气压约为60千帕
C．图中曲线是反比例函数的图象
D．图象表示大气压与海拔之间的变化关系
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个在反比例函数的图象上的点的坐标：　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝15°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA′B′的度数为 　 　．
13．（3分）在一个不透明的口袋中装有12个红球和若干个黄球，这些球除颜色外其他都相同，九年级二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验．经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，则口袋中黄球大约有 　 　个．
14．（3分）如图，在⊙O中，OA，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，P是AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q（点Q与点P不重合），连接BQ，当△BCQ是直角三角形时，BQ的长为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣4x＝2x﹣8．
17．（9分）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分钟）与录入文字的速度x（字/分钟）之间的函数关系图象如图所示．
（1）求y与x之间的反比例函数关系式．
（2）小明在8：20开始录入，完成录入的时间为8：40，求小明每分钟录入的字数．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在第四象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2；
（3）求以B1，B2，A1，A2为顶点构成的四边形的面积．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AC＝8，N是边BC上的一点，CN＝4．
（1）在边AC上求作一点M，使△MNC∽△BAC．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求MN的长．
20．（9分）信阳毛尖，中国十大名茶之一，产于河南省信阳市．茶叶颜色深绿，叶片肥厚，品质上乘，纯净清澈，香味持久，回味悠长．某茶农准备出售一批信阳毛尖茶叶．已知茶叶的进价为每斤80元，现在售价为每斤110元，每星期可卖100斤．经市场调研，发现若每斤茶叶每涨价1元，则每星期要少卖出2斤．设每斤茶叶涨价x元．
（1）求每星期获得的利润y与x之间的函数关系式．
（2）每斤茶叶涨价多少元时，每星期获得的利润最高？最高利润为多少？
21．（9分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，E是上一点，连接AB，AC，AE，BE．
（1）若∠AEB＝110°，求∠D的度数．
（2）求证：∠CAD＝∠ABC．
22．（10分）如图，一小球（看作一个点）从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线可以用抛物线yx2+bx刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA可以用直线yx刻画，若小球到达的最高点M的坐标为（4，m），解答下列问题：
（1）求b和m的值．
（2）小球落点为A，求点A的坐标．
（3）在斜坡OA上的点B处有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），点B的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由．
23．（10分）综合与实践
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且BF⊥CE于点P．
（1）求证：BF＝CE．
（2）如图2，取AB的中点G，连接GP，过点P作PH⊥GP，交BC于点H，连接GH．
①求证：△GPB∽△HPC．
②若AB＝6，CF＝2，直接写出GH的长．
2024-2025学年河南省新乡市延津县九年级（上）期末数学试卷
1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.C 7.C 8.A 9.D 10.D
11．（2，3），答案不唯一 12．30° 13．12 14． 15．或
16．解：（1）（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝±2，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
（2）x2﹣4x＝2x﹣8，
x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
17．解：（1）设y与x之间的反比例函数关系式为y，
∵图象过点（140，10），
∴10，
解得k＝1400，
∴y与x之间的函数关系式为y；
（2）在8：20开始录入，录入到4：40，共20分钟，
当y＝20时，20，
解得x＝70，
答：小明每分钟录入70个字．
18．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）四边形B1B2A1A2的面积＝3×3．
19．解：（1）若△MNC∽△BAC，
则∠MNC＝∠BAC＝90°．
如图，过点N作BC的垂线，交AC于点M，
则点M即为所求．
（2）∵∠A＝90°，BC＝10，AC＝8，
∴AB6，
∵△MNC∽△BAC，
∴，
即，
∴MN＝3．
20．（1）根据题意得，y＝（110﹣80+x）（100﹣2x）＝﹣2x2﹣40x+3000，
答：每星期获得的利润y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x+3000；
（2）∵y＝﹣2x2﹣40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝10时，y有最大值，
答：每斤茶叶涨价10元时，每星期获得的利润最高，最高利润为3200元．
21．（1）解：连接CE，
∵BC是圆的直径，
∴∠BEC＝90°，
∵∠AEB＝110°，
∴∠AEC＝∠110°﹣90°＝20°，
∴∠AOD＝2∠AEC＝40°，
∵AD与圆相切于A，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠AOD＝50°．
（2）证明：
由（1）知：∠BAC＝∠OAD＝90°，
∴∠BAO+∠OAC＝∠CAD+∠OAC＝90°，
∴∠CAD＝∠BAO，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABC，
∴∠CAD＝∠ABC．
22．解：（1）由题意，得 ，
∴b＝4．
∴抛物线的解析式为 ．
∴当x＝4时，．
∴b＝4，m＝8．
（2）由题意，得，
∴解得或．
∴点A的坐标为 ．
（3）由题意，当x＝6时，代入 ，得 y＝3；
当x＝6 时，代入 ，得 y＝6．
∵3+2＝5，且5＜6，
∴小球能飞过这棵树．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCF＝90°，CD＝BC，
∵BF⊥CE，
∴∠CPF＝90°，
∴∠FCP+∠CFB＝∠FCP+CED＝90°，
∴∠CED＝∠CFB，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF＝CE；
（2）①证明：由（1）知，△BCF≌△CDE，
∴∠DCE＝∠CBF，
又∵∠BCF＝∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠PCH，
∵BF⊥CE，PH⊥GP，
∴∠GPH＝∠BPC＝90°，
∴∠GPB+∠BPH＝∠BPH+∠CPH，
∴∠GPB＝∠CPH，
∴△GPB∽△HPC；
②解：∵tan∠PBC＝tan∠DCE，
∴，
∴，
∵G是AB的中点，
∴BG，
∴CH＝1，
∴BH＝BC﹣CH＝6﹣1＝5，
∴GH．

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