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2024—2025学年上学期期末学情检测
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）
1. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A. 3 B. 0 C. D.
2. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2
C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2
4. 如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A. 50m B. 45m C. 40m D. 60m
5. 若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，为直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
8. 如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A 65° B. 60° C. 58° D. 50°
9. 矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设外镶金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A. 当时，
B. I与R的函数关系式是
C. 当时，
D. 当时，I的取值范围是
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为_______．（只需写一个）
12. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是___．
13. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____．
14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是____．
15. 如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在上，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．
（1）请用列表法或树状图法列出所有可能出现的结果总数；
（2）请你求出小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是多少？
18. 如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC．
（1）求证：AMC是正三角形；
（2）若AC＝，求⊙O半径的长．
19. 如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于M、N两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出中x的取值范围；
（3）求的面积．
21. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
23. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数图象和性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1
①列表；下表是与的几组对应值，其中_______；
… 1 2 3 …
… 1 2 4 4 2 …
②描点：根据表中各组对应值在平面直角坐标系中描出了各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：
①___________________________________________________________；
②___________________________________________________________；
（3）①观察发现：如图2，若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于点，则_______；
②探究思考：将①的直线改为直线，其他条件不变，则_______；
③类比猜想：若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于，则_______．
2024—2025学年上学期期末学情检测
九年级数学
1. A 2. A 3. A 4. A 5. C 6. D 7. B 8.B 9. B 10. D
11. （答案不唯一） 12. 13.65° 14. 15.
16.（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．
17.解：（1）设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，列树状图如下，
（2）由（1）可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性是2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
18.（1）证明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠MBC＝∠ABC＝60°，
∵∠ABM与∠ACM都是弧AM所对的圆周角，
∴∠ACM＝∠ABM＝60°，
∵∠MAC与∠MBC都是弧MC所对的圆周角，
∴∠MAC＝∠MBC＝60°，
∴∠MAC＝∠ACM＝60°，
∴MA＝CM，
又∵∠ACM＝60°，
∴AMC是正三角形；
（2）解：连接、，过点作于点，如图1，
，
，
，
∵＝，
，
∵，，
，
∵，，
，
设，则，
中，，
∴，
解得：（舍负），
，
∴的半径为2．
19. (1)证明：平分
又
平分
连接，
是直径．
平分
∴半径为
20. 解： （1）点A在反比例函数上，
，
解得，
点A的坐标为，
又点B也在反比例函数上，
，
解得，
点B的坐标为，
又点A、B在的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）根据图象得：时，的取值范围为；
（3）直线与x轴的交点为N，
当时，，
解得：，
点N的坐标为，
．
21.（1）证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴．
22.（1） 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）；
（3）．
23. 解：（1）1 补全图象如图所示：
（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小.
（3）4 4

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