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2024-2025学年河南省新乡市长垣市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题(每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分)
1．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．如图是四幅作品，其中是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A．手可摘星辰 B．黄河入海流
C．大漠孤烟直 D．鱼戏莲叶东
3．（3分）将二次函数y＝3x2的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为（　　）
A．y＝3（x+1）2﹣2 B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
4．（3分）嘉淇准备解一元二次方程x2+6x+■＝0时，发现常数项被污染，若该方程有两个相等的实数根，则被污染的数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（3分）已知点A（﹣3，a），B（1，b），C（5，c）在反比例函数（k＜0）的图象上，下列结论正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，连接OC，若∠AOC＝70°，则∠P的度数是（　　）
A．45° B．55° C．35° D．50°
7．（3分）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
8．（3分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
9．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC处，此时点D刚好落在AB边上，且DE⊥AC，若∠B＝70°，则∠E的度数为（　　）
A．50° B．40° C．55° D．45°
10．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）
A．72 B．78 C．84 D．90
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣6）关于原点对称的点P′的坐标是　 　．
12．（3分）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为 　 　．
13．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为4，则k的值是 　 　．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为弧BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是 　 　．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．
（1）当a＝0时，求该方程的根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
17．（9分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，6）、D（6，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为 　 　；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
19．（9分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
20．（10分）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与BC交于点B，连接AC，OC，OA⊥AC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCO；
（2）若AC＝3，∠B＝30°，求⊙O半径长．
21．（10分）如图，直线y＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式x2+bx+c＞﹣2x+8的解集；
（3）若点C（1，y1），D（m，y2）都在抛物线上，当y2＞y1时，求m的取值范围．
22．（10分）小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型：设一矩形的面积为9，周长为m，相邻的两边长为x、y，由矩形的面积为9，得xy＝9，即y；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 　 　象限内交点的坐标．
（2）观察函数图象：函数y（x＞0）和y＝﹣x的图象如图所示，而函数y＝﹣x的图象可由直线y＝﹣x平移得到．①当直线平移到与函数y（x＞0）的图象有唯一交点（3，3）时，周长m的值为 　 　；
②由①可知继续向上平移直线，则直线与函数y（x＞0）的图象会有两个交点，此时周长m的取值范围为 　 　；
（3）得出结论：面积为9的矩形的周长m的取值范围为 　 　；
（4）拓展应用：若矩形的面积为25，周长为n，则n的取值范围为 　 　．
23．（10分）【问题发现】
（1）在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，连接AD，探究AD，BD，CD之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下：
图示 思路
将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接CE，DE，易证△ABD≌△ACE，得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，在Rt△DCE中，易得CD2+CE2＝DE2，由DE，得AD，BD，CD之间的数量关系为 　 　．
【类比分析】
（2）如图2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？
请给出判定，并写出你的推导过程；
【拓展延伸】
（3）若（1）中的点D在射线CB上，且BC＝4，BD＝1，请直接写出AD的长度．
2024-2025学年河南省新乡市长垣市九年级（上）期末数学试卷
1.D 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.A 10.C
11．（﹣2，6） 12． 13．4 14．2 15．8
16．（1）解：当a＝0时，则方程为x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）证明：在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，
∵a2+4≥4，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
17．解：（1）点C（1，6）在反比例函数图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y，
∵点D（6，m）在反比例函数图象上，
∴m＝1，
∵点C（1，6）和点D（6，1）都在一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+7．
（2）由一次函数解析式y＝﹣x+7可得：B（0，7），A（7，0），
∴S△OCD＝S△AOB﹣S△OBC﹣S△OAD．
18．解：（1）63°
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB BE＝4，
∴AF4．
19．解：（1）由题意，∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
∴k＝10．
∴石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10．
把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0，
∴a．
∴y（x﹣20）2+10，即yx2+x．
（2）石块能飞越防御墙AB，理由如下：
∵点B与点O的水平距离为28米，且BC＝2米，
∴可令x＝30代入yx2+x得：
y900+30＝7.5．
∵7.5＞6，
∴石块能飞越防御墙AB．
20．（1）证明：如图，连接OD，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵OA＝OD，OA⊥AC，OD⊥BC，
∴CO是∠ACB的平分线，
∴∠ACO＝∠BCO；
（2）解：∵OA⊥AC，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACO＝∠BCO＝30°，
∴OA＝AC tan∠ACO＝3，
答：⊙O半径长为．
21．解：（1）∵直线y＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0得：y＝8，
令y＝0得：0＝﹣2x+8，
解得x＝4，
∴点A坐标为（4，0），点B的坐标为（0，8），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，将点A，点B的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+8；
（2）由图象可得不等式x2+bx+c＞﹣2x+8的解集为x＜0或x＞4；
（3）∵y＝x2﹣6x+8，
∴抛物线对称轴为直线x3，
点C（1，y1）关于对称轴的对称点C'坐标为（5，y1），
∵抛物线开口向上，
∴当y2＞y1时，m＜1或m＞5．
22．解：（1）一
（2）①m＝12
②m＞12
（3）m≥12
（4）n≥20
23．（1）CD2+BD2＝2AD2
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接DE，CE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
由旋转性质可知△ADE为等腰直角三角形．
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，DEAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，
在Rt△DCE 中，CD2+CE2＝DE2，
∴CD2+CE2＝2AD2，
∴CD2+BD2＝2AD2；
（3）解：如图1，当点D在CB上时，
∵BC＝4，BD＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝3，
由（1）知：CD2+BD2＝2AD2，
∴32+12＝2AD2，
∴AD（负值已经舍去）；
如图3，当点D在CB延长线上时，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
由旋转性质可知△ADE为等腰直角三角形．
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，DEAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝45°，
∴∠CBE＝∠ABE+∠ABC＝90°，
在Rt△DBE 中，BD2+BE2＝DE2，
∴BD2+CD2＝2AD2，
∴12+52＝2AD2，
∴AD（负值已经舍去）；
综上所述：AD的长度为或．

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