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2024年秋九年级期末质量检测
数学试卷
注意事项：
1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题3分，共30分）
1.下列手机软件图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法中正确的是（ ）
A.“过圆内一点的直线与圆相交”是随机事件
B.“方程有两个不相等的实数根”是必然事件
C.“二次函数与轴相交”是不可能事件
D.“过平面内三点可画圆”是必然事件
3.若关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，则的值为（ ）
A2 B. C. D.不能确定
4.如图，点，，在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，将的内接三角形绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则的度数是（ ）
A.100 B. C. D.
6.已知的图象如图，则和的图象为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，分别的边，上中线，则（ ）
A. B. C. D.
8.按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（ ）
A.与是位似图形，位似中心为
B.与相似
C.与的面积之比为
D.与的周长之比为
9.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有唯一公共点.若直线的图象与反比例函数的图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C.或 D.
10.如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若，则的值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题（每题3分，共15分）
11.计算：________
12.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则依题意列方程为________________。
13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是________.
14.某时刻海上点处有一客轮，测得灯塔位于客轮的北偏东方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西方向航行小时到达处，那么________.
15.一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为________.
三、解答题（共8题，共75）
16.（8分）用适当的方法解方程：（1）；（2）.
17.（9分）如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，.
（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的2倍（即新图与原图的相似比为2）得到，画出图形并写出点，的坐标；
（2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长.
18.（9分）有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着、、；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着、、、；盒子外有一张写着的卡片，所有卡片的形状，大小都完全相同.现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度.
（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；
（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率.
19.（9分）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为.
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积.
20.（9分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.
（1）将向右平移4个单位，画出平移后的；
（2）以点为对称中心，画出与成中心对称的，并判断四边形的形状；
（3）在平面上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由.
21.（10分）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线的函数表达式为
已知抛物线：经过点，，■求抛物线的函数表达式
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：________；
（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线.若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求的值；
（3）如图，点为抛物线的顶点坐标，若平移抛物线的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与轴负半轴相交，交点为，则的面积的最大值为________.
22.（10分）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）________，________.
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________.
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________.
23.（11分）问题情境：
在数学课上，张老师带领学生以“图形的平移”为主题进行教学活动.在菱形纸片中，，对角线，将菱形沿对角线剪开，得到和.将沿射线BD方向平移一定的距离，得到.
观察发现：
（1）如图1，菱形中，_____；如图2，连接，，四边形的形状是________；
操作探究：
（2）将沿直线翻折，得，如图3，然后沿射线方向进行平移，连接，，若添加一个条件，能否使得四边形是一个特殊的四边形？若能，请写出添加的条件和这个特殊的四边形，并写出证明过程，若不能，说明理由.
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，设和相交于点，当是的三等分点时，直接写出的面积.
2024年秋九年级期末质量检测数学参考答案
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D 9.C 10.D
11.0 12. 13.8（答案不唯一） 14. 15.
16.解：（1）原方程可化为
或 ，. 4分
（2），，，
方程有两个不相等的实数根
即，. 8分
17.解：（1）如图所示：、的坐标分别为：，. 4分
（2）如图所示：即为所求，点所经过的路线长为：
9分
18.解：（1）画树状图得：
共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况
这三条线段能组成三角形的概率为： 5分
（2）这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；
这三条线段能组成直角三角形的概率为： 9分
19.解：（1）证明：连接， 是直径
是的中点是的中点
是的切线 5分
（2）连接
，是中点
9分
20.解：（1）如图，为所作 2分
（2）如图，为所作，四边形的形状是平行四边形
故答案为：平行四边形. 6分
（3）存在，满足条件的点坐标为：，，. 9分
21.解：（1）抛物线经过点（答案不唯一） 3分
【提示】根据抛物线 ，解得，
可以添加条件抛物线经过点
（2）抛物线
将抛物线向上平移个单位，得到抛物线的表达式为
其顶点坐标为
其关于原点对称的点的坐标为
抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，代入表达式，得，解得. 7分
（3） 10分
【提示】 抛物线的顶点
新抛物线顶点在直线上，设新抛物线的顶点为
表达式为 当时，
当时，最大
22.解：（1）根据题意得，，，解得，
故答案为2，1.5 2分
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数
的图象如图（1）
图（1）
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化
趋势是不断减小，故答案为不断减小. 6分
（3）在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象如图（2）
图（2）
由函数图象知，当或时，，即当时，的解集为或，故答案为或 10分
23.解：（1），平行四边形 2分
【提示】如图1，连接交于点，
四边形为菱形，
如图2，四边形为菱形
，
由平移，知
四边形为平行四边形
（2）能，添加的条件为：点为的中点
结论：四边形是矩形. 3分
证明：四边形是菱形且是
由平移得到的，
是由翻折得到的，
如图3 ， 点为的中点
又，且
四边形是平行四边形
四边形是矩形 7分
（3）或. 11分

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