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河南省2024-2025学年第一学期期末教学质量检测
九年级数学
·九上、九下·
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内）
1．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒（不考虑图案文字），有关其三视图说法正确的为（ ）
A．主视图和左视图完全相同 B．主视图和俯视图完全相同
C．左视图和俯视图完全相同 D．三视图各不相同
2．方程的根是（ ）
A． B．，
C． D．
3．如图，在等腰中，，，则点B到直线AC的距离是（ ）
A．5 B． C．3 D．
4．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
5．若点，在如下反比例函数的图象上，且，则有（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线的对称轴是直线，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．如图，在矩形ABCD中，，点E为AD的中点，BD，CE相交于点O，则线段OD的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点，，在上，点C为第四象限圆弧上任意一点，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．条件不足，无法计算
9．如图，在矩形ABCD中，，，点E，F在BC边上，AE和DF交于点O，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B． C．7 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形AOBC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．反比例函数在某象限内y随x的增大而增大．则任意写出一个符合条件的k值______．
12．把抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为______．
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______．
14．如图，AB为的一条弦，圆周角，若直径为10，则______．
15．如图，在中，，，将斜边中线OC绕点O旋转得对应线段OD，在点D落于直线AB下方的前提下，若OD与的直角边平行，则BD的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
17．（9分）在四张相同的小纸条上，分别写有：；；；四个数字．将四张纸条置于暗箱摇匀：
（1）随机抽取一张小纸条，所得数字是最简二次根式的概率是______；
（2）随机抽取两张相乘，求所得结果为有理数的概率．
18．（9分）如图，点E是正方形ABCD内一点，将绕点C顺时针旋转，使点B与点D重合．
（1）______°；
（2）若，求的度数；
（3）BE与DF的位置关系是______．
19．（9分）如图，在中，，，的三条角平分线交于点O，过O作AO的垂线分别交AB，AC于点D，E．
（1）下面给出了几个结论，其中正确的是______（填序号）；
① ② ③
（2）请从（1）选择一个你认为正确的选项进行证明．
20．（9分）宝岩寺塔位于河南省驻马店市西平县城东关西平大道与文化路交叉口，是宋代古塔遗存，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料．某校数学实践小组开展测量宝岩寺塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量宝岩寺塔高度
活动形式 以小组为单位
测量工具 测角仪、皮尺等
测量步骤及结果 ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角；②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米；③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．
测量示意图
任务 求宝岩寺塔AB的高度．
备注 已知测角仪的高度为1.2米，点C，E，A在同一水平直线上． （参考数据：，，）
评价（略）
21．（9分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）请用无刻度直尺和圆规作线段OA的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写做法）
（3）若（2）中所作的垂直平分线交x轴于点D，求线段OD的长．
22．（10分）如图，在中，AB为的直径，直线CD与相切于点C，割线于点D且交于点E，连接CE，AC，CB．
（1）求证：AC平分；
（2）求证：．
23．（10分）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式及顶点P的坐标；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
河南省2024-2025学年第一学期期末教学质量检测
九年级数学参考答案
1. A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.D 8.B 9.B 10.D
11．0（答案不唯一） 12． 13．1 14． 15．或
16．解：（1）原式；
（2）原方程的解是：，．
17．解：（1）；
（2）依据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，是有理数的结果有2种，
∴随机抽取两张相乘，结果是有理数的概率为．
18．解：（1）90；
（2）∵将绕点C顺时针旋转90°至，
∴，∴，
又，，
∴，∴；
（3）．
19．解：（1）①②③；
（2）选择①
证明：∵BO平分，CO平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，∴．
∵，∴，
∵AO平分，∴，
∴，∴，
∵BO平分，∴，∴．
20．解：由题意知，，设，
在中，，∴．
在中，，∴，
∵，∴，
即，解得：，
∴（米），
答：宝岩寺塔AB的高度约为28.8米．
21．解：（1）正比例函数的图象经过点，∴，
∵反比例函数的图象过点，∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）作图如下，
（3）连接AD，过点A作，垂足为E，
设点D的坐标为．
由题意可知，BC是OA的垂直平分线，
∴，设，
在中，，
∴，∴，∴线段OD的长为．
22．（1）证明：连接OC，如图所示，
∵直线CD与相切于点C，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴AC平分；
（2）证明：∵，垂足为D，AB是的直径，
∴，
∵，，
∴，∴，
∴，∴．
23．解：（1）由题意，∵二次函数为，
∴抛物线的对称轴为直线．∴．
∴抛物线为．又图象经过点，
∴．∴．∴抛物线为．
当时，，∴顶点P坐标为；
（2）当时，，且点关于对称轴的对应点为，
设，∵，
∴根据数形结合可知：若要满足题干中“最大值与最小值的差为”，
则点Q必须在抛物线上的P，M两点之间（包含端点）.
∴n的取值范围为．

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