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2024—2025学年第一学期期末教学质量检测
九年级数学
注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的根是（ ）
A. B. C. ， D. ，
3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件
4. 如图，四边形内接于．若，则的大小为（ ）
A B. C. D.
5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
7. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　）
A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16
8. 熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数，y与x的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 6 1 m …
下面有四个论断：
①抛物线的顶点为；
②；
③关于x的方程的解为，；
④当时，y的值为正．其中正确的有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 一个圆内接正多边形一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．
12. 请你写出一个顶点在 x轴上二次函数表达式________.
13. 快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______．
14. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________．
15. 如图，在正方形中，，点O为中点，点E在上，且，将绕点A在平面内旋转，点E的对应点为点F，连接，，当时，的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 已知方程有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求方程的根．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，将绕点O顺时针旋转得到．
（1）请在图中画出；
（2）与是否关于某点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点P．
18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度：关于体积的函数解析式；
（2）当时，求二氧化碳的密度的取值范围．
19. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 　　；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
20. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：．
21. 某公园草坪上有一个喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，喷水头P距离地面，喷出的水流在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距离地面．建立如图1所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，这个喷水装置的喷头P能左右旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求出它能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表示）．
22. 如图，已知为的直径，点C在上，点D为圆外一点，连接、、．给出下列条件：①是的切线；②；③是的切线．
（1）请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，并给出证明．
（2）在（1）的条件、结论下，延长交的延长线于点E，延长交的延长线于点F，若，，则的长为______．
23. 在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．
（1）如图，已知抛物线．
①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______；
②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；
（2）已知点在抛物线上，若“抛物圆”的“扁度”值不超过3，请直接写出a的取值范围．
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九年级数学
1. B 2. C 3. A 4. C 5.D 6. B 7. A 8. C 9. D 10. C
11. 六 12. y=x2（答案不唯一） 13. 14. 15. 1或3
16. （1）
（2），
17. 解：（1）如下图，即为所求.
；
（2）与是中心对称图形，
连接，交点为，如图，
点坐标为．
18.解：（1）由密度与体积是反比例函数关系，
设，
将点代入，得：，
解得：，
即关于体积的函数解析式为：.
（2）∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，，
即.
∴二氧化碳的密度的取值范围为．
19. （1）
（2）解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即，，
∴.
20.证明：∵,
∴.
∴.
同理：.
∵,
∴,即．
21. 解：（1）由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
∴，
∴抛物线的表达式为.
（2）当时，，
解得或，
∴喷灌区域的半径为，
∴喷灌的草坪的面积．
22.（1）解：选取①②为题设，③为结论，
连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
选取②③为题设，①为结论，
连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
选取①③为题设，②为结论，
连接，
∵是的切线，是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴.
（2）
23. （1）①4 6
②解：若点A横坐标为t，则点，则点，
则圆M的直径为，
则，
则，解得：（舍去）或，
即.
（2）点在抛物线上，
，即，
其顶点坐标为，即点，
则点，则圆M的半径为
则，
则，
，
.

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