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2024-2025学年河南省驻马店市汝南县天中山中、双语学校联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，则d＝（　　）
A．6cm B． C．1.5cm D．3cm
2．（3分）下列哪个点在反比例函数上（　　）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1） D．
3．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．可能性很大的事情是必然发生的
B．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的
C．打开电视机，它正在播广告是随机事件
D．爸爸买彩票又没中奖，我劝他坚持，因为他从未中过奖，所以他现在中奖的机会比以前大了
4．（3分）下列图形一定是相似形的是（　　）
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个矩形 D．两个等边三角形
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（　　）
A．25° B．30° C．45° D．60°
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A逆时针旋转α（0＜α＜50°），得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．（3分）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　）
A．0 B． C．﹣1 D．﹣3
8．（3分）如图，P是反比例函数图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为（　　）
A．9 B．12 C．18 D．20
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OE＝1：2，点B的坐标是（5，4），则点E的横坐标是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）关于x的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若，则的值为 　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为　 　．
13．（3分）若反比例函数y的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 　 　．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BE平分∠ABC交AD于点E，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F．若DE＝2AE，则图中阴影部分的面积为 　 　．
15．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，连接CF，点P为射线AE上一个动点，连接BP，若AD＝3，当△ABP与△BFC相似时，AP的长为 　 　．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣1＝2x．
17．（9分）一只不透明的袋子中，装有2个白球（标有号码1、2）和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．
（1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？
（2）搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率．
18．（9分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
19．（9分）△ABC在直角坐标系内的位置如图所示．
（1）分别写出A、B、C的坐标；
（2）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（3）请在这个坐标系内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于原点对称，并写出B2的坐标．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式ax+b0的解集．
21．（9分）如图，已知OA是⊙O的半径，AB为⊙O的弦，过点O作OP⊥OA，交AB的延长线上一点P，OP交⊙O于点D，连接AD，BD，过点B作⊙O的切线BC交OP于点C
（1）求证：∠CBP＝∠ADB；
（2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长．
22．（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
23．（10分）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，AE．
（1）问题发现：如图1所示，若△ABC和△CDE均为等边三角形，则线段BD与线段AE的数量关系是 　 　；
（2）类比探究：如图2所示，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3所示，若∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．
2024-2025学年河南省驻马店市汝南县天中山中、双语学校联考九年级（上）期末数学试卷
1.A 2.A 3.C 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.D
11．﹣2 12．8 13．k＜﹣2 14． 15．或4
16．解：（1）x2﹣2x﹣3＝0
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
x1＝3，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣1＝2x，
整理得：2x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12＞0，
∴x，
∴x1，x2．
17．解：（1）袋子中，装有2个白球，1个红球，共3个球，
从中摸出一个球，摸到白球的概率是；
（2）画树状图如下：
∴P（两个球都是白球）．
18．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米．
19．解：（1）A（0，3），B（﹣4，4），C（﹣2，1）；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）．
20．解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 的图象上，
∴．
∴k＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 y．
∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y 的图象上，
∴．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴点A的坐标为（﹣2，6）．
∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，把点A（﹣2，6），B（4，﹣3）分别代入，得 ，
∴．
∴一次函数的表达式为y．
（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
OC |xA| OC |xB|
3×23×4
＝9．
（3）由题意得，﹣2＜x＜0或x＞4．
21．（1）证明：连接OB，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBP＝180°﹣∠CBO，
＝180°﹣90°＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OAB＝∠ABO，
∵∠OAB+∠ABO+∠AOB＝180°
∴2∠OAB+∠AOB＝180°，
∵∠AOB＝2∠ADB，
∴∠ABO+∠ADB＝90°，
∴∠CBP＝∠ADB；
（2）解：延长AO交⊙O于E，连接BE．
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OP⊥AO，
∴∠AOP＝90°
在Rt△ABE和Rt△AOP中，
∵∠EAB＝∠PAO，
∴Rt△ABE∽Rt△AOP，
∴，
∵AB＝2，AO＝4，AE＝8，
∴，
解得，AP＝16．
∴BP＝AP﹣AB＝16﹣2＝14．
所以BP的长为14．
22．解：（1）∵关于y轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为（﹣3，5），
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝a（x+3）2+5（a≠0），
将（﹣8，0）代入y＝a（x+3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a，
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y（x+3）2+5（﹣8＜x＜0）；
（2）当y＝1.8时，有（x+3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣7，x2＝1，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；
（3）当x＝0时，y（x+3）2+5，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为yx2+bx，
∵该函数图象过点（﹣12，0），
∴0（﹣12）2+（﹣12）b，
解得：b，
∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为yx2x（x）2，
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米．
23．解：（1）BD＝AE；
（2）BDAE．
理由：∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠DEC＝30°，
∴，∠BCD＝∠ECA．
∴△BCD∽△ACE，
∴，
∴BDAE；
（3）①如图3，当点D落在线段BE上时．
∵∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，
∴BCAC＝2，CDEC，
∴AC＝2，CE＝DE＝1．
∵∠E＝90°
∴BE，
∴BD＝BE﹣DE1；
②如图4，当点E落在线段BD上时，
同理可得，BD＝BE+DE1．
综上所述，BD的长为1或1．

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