资源简介

2　平面直角坐标系
第1课时　平面直角坐标系的有关概念
稳基础
知识点一　平面直角坐标系及其相关概念
1(3分)下面四个图形是平面直角坐标系的是( )
知识链接
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴,铅直的数轴称为y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点.
2(3分·2025·营口站前区质检)在如图所示的阴影区域内的点(不含边界)位于第 象限.( )
A.一 B.二 C.三 D.四
3(3分·教材再开发·P59例1变式)若点P在平面直角坐标系中的位置如图所示,则点P的坐标为 ( )
A.(2,3) B.(3,2) C.(-2,3) D.(3,-2)
知识点二　点的坐标和平面内点的对应性
4(3分)点P(-2 024,2 025)在 ( )
A.第一象限　　 　 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5(3分·2025·阜新海州区模拟)若点P在第二象限,且到x轴的距离是4,到y轴的距离是2,则点P的坐标是 ( )
A.(4,2) B.(-2,-4)
C.(-2,4) D.(-4,2)
知识链接
在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.
6(3分)已知点M在第四象限,其坐标可能是 ( )
A.(1,-2) B.(-3,-2)
C.(-3,4) D.(3,5)
7(8分)如图,给出格点△ABC.
(1)写出△ABC各顶点的坐标;
(2)求出此三角形的周长.
巧提升
易错点忽略象限内点的坐标的符号而致错.
8(3分·易错题)如图,在平面直角坐标系中,PA⊥x轴,PB⊥y轴,且PA=5,PB=3,则点P的坐标为 ( )
A.(5,3) B.(3,5)
C.(3,-5) D.(-3,5)
9(3分)若点M(2-a,3a+6)到两坐标轴的距离相等,则点M的坐标为 ( )
A.(6,-6) 　　 　 B.(3,3)
C.(-6,6)或(-3,3) 　　　 D.(6,-6)或(3,3)
10(3分)在平面直角坐标系中,点P(1,-)到原点的距离为 .
11(3分)若点A的坐标为(-1-b2,1+a2),则点A在第 象限.
12(10分·2024·大连中山区期中)已知a,b都是实数,设点A(a,b),若满足3a=4b+3,则称点A为“梦想点”.
(1)判断点B(5,3)是否为“梦想点”;
(2)若点C(2m+1,m-2)是“梦想点”,求点C到x轴的距离.
培素养
13(12分·新课标·项目式学习)【情景再现】周末,李科同学骑车去市图书馆阅览图书.出门匆忙,骑行一段路后,发现借书证落在同学张强家了,于是又去同学张强家中取借书证,并停留了一段时间,之后再继续骑车向图书馆出发,最后到达图书馆.
【学以致用】聪明的李科同学,以所用的时间t为横轴,以离家的距离s为纵轴建立平面直角坐标系,对周末活动制作了示意图,并受到数学老师夸赞.
【解决问题】根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)张强家到图书馆是________米,李科全程的骑行时间是________分钟;
(2)在整个去图书馆的途中哪个时间段李科骑车速度最慢 最慢的速度是多少米/分
(3)本次去图书馆的行程中,李科一共骑行了多少米 第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征
稳基础
知识点一　坐标轴上的点的坐标特征
1(3分)若点P的坐标(x,y)满足xy=0,则点P的位置是 (D)
A.在x轴上
B.在y轴上
C.是坐标原点
D.在x轴上或在y轴上
2(3分·2025·本溪溪湖区质检)已知点P(a,a+4)在x轴上,则a的值是　-4　.
3(3分)在平面直角坐标系中,已知点M(2m-6,m+1)在y轴上,则m=　3　.
知识点二　平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
4(3分·2025·丹东振兴区模拟)已知点A(-1,3)和点B(3,m-1),如果直线AB⊥y轴,那么m的值为 (D)
A.1 B.-4 C.-1 D.4
5(3分·2025·锦州太和区模拟)已知点M(2m+5,m-2),N(-3,4),且MN∥y轴,则点M的坐标为　(-3,-6)　.
巧提升
6(3分·2024·广元中考)如果单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中点(m,n)在 (D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
易错点忽略距离为坐标的绝对值而漏解
7(3分·易错题)在平面直角坐标系中,已知点A(-3,2),B(x,y),且AB∥x轴.若点B到y轴的距离是到x轴距离的2倍,则点B的坐标为(C)
A.(1,2)或(-1,2)　　 B.(4,-2)或(-4,-2)
C.(4,2)或(-4,2) D.(1,-2)或(-1,-2)
8(3分)在平面直角坐标系中,若点A(5,0),点B(0,2),坐标轴上有一点C使得△ABC是等腰三角形,这样的点C共有　8　个.
9(6分)在直角坐标系中,A(-4,0),B(2,0),C(0,6).
(1)求△ABC的面积;
(2)点P是位于x轴上的点,且S△APC=S△ABC,求出P点坐标.
【解析】(1)2-(-4)=6,
S△ABC=6×6÷2=18.
(2)S△APC=S△ABC=×18=9,|AP|=9×2÷6=3,
P点在A点的右边时,-4+3=-1,坐标为(-1,0);
P点在A点的左边时,-4-3=-7,坐标为(-7,0),所以P点坐标为(-1,0)或(-7,0).
培素养
10(10分·抽象能力、几何直观、推理能力)如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,0),B(b,0),其中a,b满足a2+2a+1+|3a+b|=0.
(1)填空:a=________,b=________;
(2)若存在一点M(-2,m)(m<0),点M到x轴距离为________,到y轴距离为________,求△ABM的面积(用含m的式子表示);
(3)在(2)条件下,当m=-1.5时,在y轴上有一点P,使得△MOP的面积与△ABM的面积相等,请求出点P的坐标.
【解析】(1)因为a2+2a+1+|3a+b|=0,
所以(a+1)2+|3a+b|=0,
所以a+1=0,3a+b=0,所以a=-1,b=3;
答案:-1　3
(2)因为点M(-2,m)(m<0),所以点M到x轴距离为-m,到y轴距离为2,
如图所示,过M作ME⊥x轴于E,
因为A(-1,0),B(3,0),所以OA=1,OB=3,
所以AB=4,
因为在第三象限内有一点M(-2,m),
所以ME=|m|=-m,
所以=AB×ME=×4×(-m)=-2m;
答案:-m　2
(3)设P(0,n),
当m=-1.5时,M(-2,-1.5),S△ABM=-2m=3,
在y轴上有一点P,使得S△MOP=S△ABM=3,
所以|n|×2=3,
解得n=±3,
所以符合条件的点P坐标是(0,-3)或(0,3).第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征
稳基础
知识点一　坐标轴上的点的坐标特征
1(3分)若点P的坐标(x,y)满足xy=0,则点P的位置是 ( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.是坐标原点
D.在x轴上或在y轴上
2(3分·2025·本溪溪湖区质检)已知点P(a,a+4)在x轴上,则a的值是 .
3(3分)在平面直角坐标系中,已知点M(2m-6,m+1)在y轴上,则m= .
知识点二　平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
4(3分·2025·丹东振兴区模拟)已知点A(-1,3)和点B(3,m-1),如果直线AB⊥y轴,那么m的值为 ( )
A.1 B.-4 C.-1 D.4
5(3分·2025·锦州太和区模拟)已知点M(2m+5,m-2),N(-3,4),且MN∥y轴,则点M的坐标为 .
巧提升
6(3分·2024·广元中考)如果单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中点(m,n)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
易错点忽略距离为坐标的绝对值而漏解
7(3分·易错题)在平面直角坐标系中,已知点A(-3,2),B(x,y),且AB∥x轴.若点B到y轴的距离是到x轴距离的2倍,则点B的坐标为( )
A.(1,2)或(-1,2)　　 B.(4,-2)或(-4,-2)
C.(4,2)或(-4,2) D.(1,-2)或(-1,-2)
8(3分)在平面直角坐标系中,若点A(5,0),点B(0,2),坐标轴上有一点C使得△ABC是等腰三角形,这样的点C共有 个.
9(6分)在直角坐标系中,A(-4,0),B(2,0),C(0,6).
(1)求△ABC的面积;
(2)点P是位于x轴上的点,且S△APC=S△ABC,求出P点坐标.
培素养
10(10分·抽象能力、几何直观、推理能力)如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,0),B(b,0),其中a,b满足a2+2a+1+|3a+b|=0.
(1)填空:a=________,b=________;
(2)若存在一点M(-2,m)(m<0),点M到x轴距离为________,到y轴距离为________,求△ABM的面积(用含m的式子表示);
(3)在(2)条件下,当m=-1.5时,在y轴上有一点P,使得△MOP的面积与△ABM的面积相等,请求出点P的坐标.
(2)因为点M(-2,m)(m<0),所以点M到x轴距离为-m,到y轴距离为2,
如图所示,过M作ME⊥x轴于E,
因为A(-1,0),B(3,0),所以OA=1,OB=3,
所以AB=4,
因为在第三象限内有一点M(-2,m),
所以ME=|m|=-m,
所以=AB×ME=×4×(-m)=-2m;第3课时　建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置
稳基础
知识点　建立适当的平面直角坐标系求已知点的坐标
1 (3分)如图,是一片树叶标本,将其放在平面直角坐标系中,若A,B两点的坐标分别为(-3,2),(-1,-1),则点C的坐标为 ( )
A.(2,0)　　　　 B.(2,1)
C.(1,0) D.(1,-1)
2(3分·2025·大连西岗区质检)如图,将边长为4的正方形放在平面直角坐标系中,若点A的坐标是(-1,2),则点C的坐标是 .
3(8分·教材再开发·P66T7变式)如图,已知在平面内市政府所在位置的坐标为(0,3),文化宫所在位置的坐标为(-1,0).
(1)请你根据题目条件,画出平面直角坐标系;
(2)写出体育馆、火车站所在位置的坐标.
巧提升
4(3分)如图,直线l1⊥l2,在某平面直角坐标系中,x轴∥l2,y轴∥l1,点A的坐标为(2,3),点B的坐标为(-4,-1),则点C所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5(3分)在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)为端点的线段的中点坐标为(,),现有A(3,4),B(1,-8),C(-2,6)三点,点D为线段AB的中点,点E为线段AC的中点,则线段DE的中点坐标为 .
6 (8分·2025·鞍山立山区模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC⊥AB,AB=5,BC=4,CD=3.在原图中建立适当的平面直角坐标系,并写出各顶点的坐标.
培素养
7(12分·空间观念、几何直观)如图,方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度,A,B均为格点.
(1)在图中建立直角坐标系,使点A,B的坐标分别为(3,3)和(-1,0);
(2)在(1)中x轴上是否存在点C,使△ABC为等腰三角形(其中AB为腰) 若存在,请直接写出所有满足条件的点C的坐标.2　平面直角坐标系
第1课时　平面直角坐标系的有关概念
稳基础
知识点一　平面直角坐标系及其相关概念
1(3分)下面四个图形是平面直角坐标系的是(D)
知识链接
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴,铅直的数轴称为y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点.
2(3分·2025·营口站前区质检)在如图所示的阴影区域内的点(不含边界)位于第　　象限.(A)
A.一 B.二 C.三 D.四
3(3分·教材再开发·P59例1变式)若点P在平面直角坐标系中的位置如图所示,则点P的坐标为 (C)
A.(2,3) B.(3,2) C.(-2,3) D.(3,-2)
知识点二　点的坐标和平面内点的对应性
4(3分)点P(-2 024,2 025)在 (B)
A.第一象限　　 　 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5(3分·2025·阜新海州区模拟)若点P在第二象限,且到x轴的距离是4,到y轴的距离是2,则点P的坐标是 (C)
A.(4,2) B.(-2,-4)
C.(-2,4) D.(-4,2)
知识链接
在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.
6(3分)已知点M在第四象限,其坐标可能是 (A)
A.(1,-2) B.(-3,-2)
C.(-3,4) D.(3,5)
7(8分)如图,给出格点△ABC.
(1)写出△ABC各顶点的坐标;
(2)求出此三角形的周长.
【解析】(1)A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2);
(2)AB==5,AC==,BC==,
所以△ABC的周长为5++.
巧提升
易错点忽略象限内点的坐标的符号而致错.
8(3分·易错题)如图,在平面直角坐标系中,PA⊥x轴,PB⊥y轴,且PA=5,PB=3,则点P的坐标为 (C)
A.(5,3) B.(3,5)
C.(3,-5) D.(-3,5)
9(3分)若点M(2-a,3a+6)到两坐标轴的距离相等,则点M的坐标为 (D)
A.(6,-6) 　　 　 B.(3,3)
C.(-6,6)或(-3,3) 　　　 D.(6,-6)或(3,3)
10(3分)在平面直角坐标系中,点P(1,-)到原点的距离为 　.
11(3分)若点A的坐标为(-1-b2,1+a2),则点A在第　二　象限.
12(10分·2024·大连中山区期中)已知a,b都是实数,设点A(a,b),若满足3a=4b+3,则称点A为“梦想点”.
(1)判断点B(5,3)是否为“梦想点”;
(2)若点C(2m+1,m-2)是“梦想点”,求点C到x轴的距离.
【解析】(1)由B(5,3)知,3×5=15,4×3+3=15,
15=15,
所以点B(5,3)是“梦想点”;
(2)因为点C(2m+1,m-2)是“梦想点”,
所以3(2m+1)=4(m-2)+3,
解得m=-4,
所以2m+1=-7,m-2=-6,
所以点C坐标为(-7,-6),
所以点C到x轴的距离为6.
培素养
13(12分·新课标·项目式学习)【情景再现】周末,李科同学骑车去市图书馆阅览图书.出门匆忙,骑行一段路后,发现借书证落在同学张强家了,于是又去同学张强家中取借书证,并停留了一段时间,之后再继续骑车向图书馆出发,最后到达图书馆.
【学以致用】聪明的李科同学,以所用的时间t为横轴,以离家的距离s为纵轴建立平面直角坐标系,对周末活动制作了示意图,并受到数学老师夸赞.
【解决问题】根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)张强家到图书馆是________米,李科全程的骑行时间是________分钟;
(2)在整个去图书馆的途中哪个时间段李科骑车速度最慢 最慢的速度是多少米/分
(3)本次去图书馆的行程中,李科一共骑行了多少米
【解析】(1)张强家到图书馆的路程是900米,李科全程的骑行时间是14-4=10(分钟).
答案:900　10
(2)0≤t≤4时,速度=1 200÷4=300(米/分);
412≤t≤14时,速度=(1 500-600)÷(14-12)=450(米/分);
所以从第4分钟到第8分钟去同学张强家中取借书证的速度最慢,速度是150米/分;
(3)读图可得:李科共骑行了1 200+600+900=2 700(米).第3课时　建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置
稳基础
知识点　建立适当的平面直角坐标系求已知点的坐标
1 (3分)如图,是一片树叶标本,将其放在平面直角坐标系中,若A,B两点的坐标分别为(-3,2),(-1,-1),则点C的坐标为 (A)
A.(2,0)　　　　 B.(2,1)
C.(1,0) D.(1,-1)
2(3分·2025·大连西岗区质检)如图,将边长为4的正方形放在平面直角坐标系中,若点A的坐标是(-1,2),则点C的坐标是　(3,-2)　.
3(8分·教材再开发·P66T7变式)如图,已知在平面内市政府所在位置的坐标为(0,3),文化宫所在位置的坐标为(-1,0).
(1)请你根据题目条件,画出平面直角坐标系;
(2)写出体育馆、火车站所在位置的坐标.
【解析】(1)平面直角坐标系如图所示.
(2)由图可知:体育馆(-5,3),火车站(2,-3).
巧提升
4(3分)如图,直线l1⊥l2,在某平面直角坐标系中,x轴∥l2,y轴∥l1,点A的坐标为(2,3),点B的坐标为(-4,-1),则点C所在象限是(B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5(3分)在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)为端点的线段的中点坐标为(,),现有A(3,4),B(1,-8),C(-2,6)三点,点D为线段AB的中点,点E为线段AC的中点,则线段DE的中点坐标为 (,)　.
6 (8分·2025·鞍山立山区模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC⊥AB,AB=5,BC=4,CD=3.在原图中建立适当的平面直角坐标系,并写出各顶点的坐标.
【解析】(答案不唯一)以点B为坐标原点,以AB边所在直线为x轴,BC边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示:
因为AB∥CD,BC⊥AB,AB=5,BC=4,CD=3,所以A(-5,0),B(0,0),C(0,4),D(-3,4).
培素养
7(12分·空间观念、几何直观)如图,方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度,A,B均为格点.
(1)在图中建立直角坐标系,使点A,B的坐标分别为(3,3)和(-1,0);
(2)在(1)中x轴上是否存在点C,使△ABC为等腰三角形(其中AB为腰) 若存在,请直接写出所有满足条件的点C的坐标.
【解析】(1)如图,直角坐标系即为所求;
(2)存在点C,使△ABC为等腰三角形,如图,
因为AB==5,
当AB=AC时,BC=8,所以C(7,0);
当AB=BC'时,BC'=5,所以C'(4,0);
当AB=BC″时,BC″=5,所以C″(-6,0);
因为以AB为腰,所以AC4=BC4舍去,
所以所有满足条件的点C的坐标为C(7,0)或C'(4,0)或C″(-6,0).

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