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3　轴对称与坐标变化
稳基础
知识点一　关于坐标轴对称的点的坐标特征
1(3分)点(2,-3)关于x轴的对称点是 ( )
A.(-2,3)　　　　 B.(2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
2(3分·2025·营口老边区质检)如果A(-2,4),B(a,-4)关于x轴对称,则a= .
知识链接
关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称.
即点A,点B关于x轴对称 A(a,b),B(a,-b).
关于y轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称.即点A,点B关于y轴对称 A(a,b),B(-a,b).
知识点二　平面直角坐标系中的轴对称图形
3(3分·2024·通辽中考)剪纸是我国民间艺术之一,如图放置的剪纸作品,它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合,则点A(-4,2)关于对称轴对称的点的坐标为 ( )
A.(-4,-2) B.(4,-2)
C.(4,2) D.(-2,-4)
4(3分·2025·丹东东港市模拟)如图是蜡烛的平面镜成像原理图,以桌面所在直线为x轴,镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系,若火焰顶部P点的坐标是(3,2),则对应虚像火焰顶部Q点的坐标是 .
5(6分)在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(-3,2),(-4,-2),(-1,-3).若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称,点A,B,C的对应点分别为A',B',C'.请在图中作出△A'B'C',并写出点A',B',C'的坐标.
知识点三　点或图形关于平行于坐标轴直线的对称问题
6(3分)已知点A(4,3)和点B是坐标平面内的两个点,且它们关于直线x=-3对称,则平面内点B的坐标为 ( )
A.(0,-3)　 B.(4,-9)
C.(4,0)　 D.(-10,3)
7(6分)点P(1,2)关于直线y=1对称的点的坐标是 ;关于直线x=2对称的点的坐标是 .
巧提升
8(3分)在直角坐标系xOy中,点A(a,3)与B(-1,b)关于y轴对称,则a,b的值分别为( )
A.a=1,b=3 B.a=-1,b=-3
C.a=-1,b=3 D.a=1,b=-3
9(3分)点(-7,9)关于直线m(直线m上各点横坐标都为2)对称点的坐标是 ( )
A.(7,9)　 B.(-7,-9)
C.(11,9)　 D.(-11,-9)
易错点容易忽略两次对称而致错.
10(3分·易错题)点P关于x,y轴的对称点分别为M,N,若M(-1,2),则N的坐标为 .
11(6分)在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(0,2),作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C的横坐标为 ,其中与△ABO成轴对称的△BOC有 个.
12(8分)在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(2,0),C(5,3).
(1)点C关于x轴对称的点C1的坐标为________.
(2)连接A,B,C三点,试说明△ABC是直角三角形.
(3)已知点P在x轴上,若S△PBC=S△ABC,求点P的坐标.
培素养
13(10分·几何直观、创新意识·2025·本溪南芬区质检)横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点.如图,△ABC的顶点都是格点,M为AB上一点,仅用无刻度直尺画图(保留作图痕迹),并回答问题.
(1)画△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)画△ABC的高CD;
(3)画M点关于y轴的对称点M1;
(4)探究与△ABC有一条公共边且与△ABC成轴对称的格点三角形,直接写出满足条件的三角形的个数.3　轴对称与坐标变化
稳基础
知识点一　关于坐标轴对称的点的坐标特征
1(3分)点(2,-3)关于x轴的对称点是 (B)
A.(-2,3)　　　　 B.(2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
2(3分·2025·营口老边区质检)如果A(-2,4),B(a,-4)关于x轴对称,则a=　-2　.
知识链接
关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称.
即点A,点B关于x轴对称 A(a,b),B(a,-b).
关于y轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称.即点A,点B关于y轴对称 A(a,b),B(-a,b).
知识点二　平面直角坐标系中的轴对称图形
3(3分·2024·通辽中考)剪纸是我国民间艺术之一,如图放置的剪纸作品,它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合,则点A(-4,2)关于对称轴对称的点的坐标为 (C)
A.(-4,-2) B.(4,-2)
C.(4,2) D.(-2,-4)
4(3分·2025·丹东东港市模拟)如图是蜡烛的平面镜成像原理图,以桌面所在直线为x轴,镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系,若火焰顶部P点的坐标是(3,2),则对应虚像火焰顶部Q点的坐标是　(-3,2)　.
5(6分)在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(-3,2),(-4,-2),(-1,-3).若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称,点A,B,C的对应点分别为A',B',C'.请在图中作出△A'B'C',并写出点A',B',C'的坐标.
【解析】因为A,B,C的坐标分别为(-3,2),(-4,-2),(-1,-3),△A'B'C'与△ABC关于y轴对称,点A,B,C的对应点分别为A',B',C',
所以A'(3,2),B'(4,-2),C'(1,-3).
如图所示,
知识点三　点或图形关于平行于坐标轴直线的对称问题
6(3分)已知点A(4,3)和点B是坐标平面内的两个点,且它们关于直线x=-3对称,则平面内点B的坐标为 (D)
A.(0,-3)　 B.(4,-9)
C.(4,0)　 D.(-10,3)
7(6分)点P(1,2)关于直线y=1对称的点的坐标是　(1,0)　;关于直线x=2对称的点的坐标是　(3,2)　.
巧提升
8(3分)在直角坐标系xOy中,点A(a,3)与B(-1,b)关于y轴对称,则a,b的值分别为(A)
A.a=1,b=3 B.a=-1,b=-3
C.a=-1,b=3 D.a=1,b=-3
9(3分)点(-7,9)关于直线m(直线m上各点横坐标都为2)对称点的坐标是 (C)
A.(7,9)　 B.(-7,-9)
C.(11,9)　 D.(-11,-9)
易错点容易忽略两次对称而致错.
10(3分·易错题)点P关于x,y轴的对称点分别为M,N,若M(-1,2),则N的坐标为　(1,-2)　.
11(6分)在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(0,2),作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C的横坐标为　-1或1　,其中与△ABO成轴对称的△BOC有　2　个.
12(8分)在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(2,0),C(5,3).
(1)点C关于x轴对称的点C1的坐标为________.
(2)连接A,B,C三点,试说明△ABC是直角三角形.
(3)已知点P在x轴上,若S△PBC=S△ABC,求点P的坐标.
【解析】(1)由题意得:点C1的坐标为(5,-3);
答案:(5,-3)
(2)因为AB2=22+22=8,AC2=(3-2)2+52=26,BC2=(5-2)2+32=18,
所以AB2+BC2=8+18=26=AC2,
所以△ABC是直角三角形;
(3)S△ABC=3×5-×2×2-×(5-2)×3-×(3-2)×5=6,设P点坐标为(t,0),
因为S△PBC=S△ABC,
所以×3×|t-2|=×6=3,
所以t-2=±2,所以t=0或t=4,
P点坐标为(0,0)或(4,0).
培素养
13(10分·几何直观、创新意识·2025·本溪南芬区质检)横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点.如图,△ABC的顶点都是格点,M为AB上一点,仅用无刻度直尺画图(保留作图痕迹),并回答问题.
(1)画△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)画△ABC的高CD;
(3)画M点关于y轴的对称点M1;
(4)探究与△ABC有一条公共边且与△ABC成轴对称的格点三角形,直接写出满足条件的三角形的个数.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)如图,延长CB至点E,且CE=AC,作EF∥y轴,且EF=BC,连接CF交AB于点D,
由图可知:∠BCA=∠FEC=90°,BC=EF,AC=CE,
所以△ACB≌△CEF(SAS),
所以∠FCE=∠A.
因为∠A+∠ABC=90°,
所以∠FCE+∠ABC=90°,
所以∠CDB=90°,
所以CD⊥AB,
所以CD即为所求.
(3)如图,连接A1M交y轴于一点,
连接点A和该点并延长,与A1B1的交点,
即为M1点;
设AM1与A1M交于点N,
因为△ABC与△A1B1C1关于y轴对称,
所以NA1=NA,∠B1A1C1=∠BAC,
所以∠NA1A=∠NAA1,∠B1A1C1+90°=∠BAC+90°,
即∠B1A1A=∠BAA1.
因为AA1=AA1,
所以△M1A1A≌△MAA1(ASA),
所以M与M1为对应点,M1即为所求.
(4)如图,与△ABC有一条公共边且与△ABC成轴对称的格点三角形共有4个.

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