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第3课时　借助两个一次函数图象解决实际问题
稳基础
知识点　两个一次函数图象的应用
1(3分)某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡,设游泳次数为x时两种消费卡所需费用分别为y甲,y乙元,y甲,y乙与x的函数图象如图所示,当游泳次数为30时选择哪种消费卡更合算(B)
A.甲种更合算 B.乙种更合算
C.两种一样合算 D.无法确定
2(10分·教材再开发·P99例3变式)已知A,B两地相距80 km,甲、乙两人沿同一条道路从A地到达B地.如图,l1,l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系.
(1)在甲出发　3　h时,两人相遇,这时他们离开A地　40　km;
(2)甲的速度是 　km/h,乙的速度是　40　km/h;
(3)乙从A地出发　2　h时到达B地.
巧提升
3(3分)已知甲车从A地出发前往B地,同时乙车从B地出发前往A地,两车离A地距离y(千米)和行驶时间x(小时)的关系如图,则两车相遇时,甲车行驶的时间是 (B)
A.3.5小时 B.小时 C.2.5小时 D.3小时
4(12分·2025·本溪溪湖区模拟)甲、乙两车分别从相距15 km的沈阳科学宫和辽宁省博物馆同时匀速相向而行.甲车出发10 min后,由于交通管制,停止了2 min,再出发时速度比原来减少15 km/h,并安全到达终点.甲、乙两车距沈阳科学宫的路程y(单位:km)与两车行驶时间x(单位:h)的图象如图所示:
(1)填空:a=________;
(2)求乙车距沈阳科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)x=________　h时,甲、乙两车相遇.
【解析】(1)2 min= h,
所以a=+=.
答案:
(2)设乙车距沈阳科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数表达式为y=kx+b,
将(0,15), (,0)代入得:
b=15,k+b=0,所以k=-45,
所以乙车距沈阳科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数表达式为y=-45x+15,由图象知,自变量的取值范围为0≤x≤.
(3)甲车停车之前的速度为v km/h,则停车之后的速度为(v-15) km/h,
v+(-)(v-15)=15,
解得v=60,
所以甲车停车前速度为60 km/h,
设经过x h两车相遇,
60x=-45x+15,
解得x=.
答案:
培素养
5(12分·模型观念、应用意识)在一条笔直的公路上有A,B两地,甲、乙二人同时出发,甲从A地步行匀速前往B地,到达B地后,立刻以原速度沿原路返回A地.乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动),甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)A,B两地之间的距离是________米,乙的步行速度是________米/分钟.
(2)图中a=________,b=________,c=________.
(3)求线段MN的函数表达式.
(4)在乙运动的过程中,何时两人相距80米
【解析】(1)由题中图象知:当x=0时,y=1 200,
所以A,B两地之间的距离是1 200米;
由题中图象知:乙经过20分钟到达A,
所以乙的速度为=60(米/分钟).
答案:1 200　60
(2)由题中图象知:当x=时,y=0,
所以甲乙二人的速度和为:1 200÷=140(米/分钟),
设甲的速度为x米/分钟,则乙的速度为(140-x)米/分钟,
所以140-x=60,
所以x=80.
所以甲的速度为80米/分钟,
因为点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地,
所以c=1 200÷80=15(分钟),
所以a=60×15=900(米).
因为点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地,
所以b=900-(80-60)×5=800(米).
答案:900　800　15
(3)由题意得:M(15,900),N(20,800),
设线段MN的表达式为y=kx+n,
所以,
解得,
所以线段MN的表达式为y=-20x+1 200(15≤x≤20).
(4)在乙运动的过程中,二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米.理由:
①相遇前两人相距80米时,二人的所走路程和为1 200-80=1 120(米),
所以1 120÷140=8(分钟);
②相遇后两人相距80米时,二人的所走路程和为1 200+80=1 280(米),
所以1 280÷140=(分钟).
综上,在乙运动的过程中,二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米.
阶段测评 请做　“单元素养测评卷(四)”
“辽宁期中备考卷”4　一次函数的应用
第1课时　借助一次函数表达式解决一些简单问题
稳基础
知识点　确定一次函数的表达式
1(3分·2025·朝阳建平县模拟)元旦期间,某商场搞优惠促销活动,活动内容:“凡在本商场一次性购物超过100元者,超过100元的部分按9折优惠”.在此活动中,李明到该商场为单位一次性购买单价为60元的办公用品x(x>2)件,则应付款y(元)与商品件数x(件)之间的关系式是( )
A.y=54x
B.y=54x+10
C.y=54x-90
D.y=54x+45
2(3分)一辆汽车在行驶的过程中,行驶的路程y(千米)随着行驶时间x(小时)的改变而改变,如果汽车行驶的速度是60千米/小时,那么x与y之间的关系式是 .
3(8分)某公司要印制宣传材料,现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出:每份材料收1元印制费,另收1 500元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收2.5元印制费,不收制版费.设印制数量为x(份),甲,乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位:元).
(1)请写出y1=________ ;y2=________ .
(2)印制800份宣传材料时,选择哪家印刷厂比较合算 并说明理由.
巧提升
4(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则直线BC的表达式为 .
5(3分)学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.如图所示,l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系,则出发 h后两人相遇.
6(10分·2025·鞍山台安县模拟)为筹备乒乓球比赛,学校决定购买一批新乒乓球拍和乒乓球用于队员训练,商场里某品牌球拍定价为120元/只,乒乓球定价5元/个.商场搞促销活动,有两种方案可供选择,A方案:买一只球拍,赠送4个球;B方案:球拍和球均按定价的9折优惠.如果学校计划购买球拍20只,购买乒乓球若干个(不低于球拍的4倍).
(1)设购买乒乓球数为x(个),请分别写出两种方案付款金额yA、yB(元)与x之间的函数关系式;
(2)当购买多少个乒乓球时,费用最少 第2课时　借助单个一次函数图象解决实际问题
稳基础
知识点一　一次函数与一元一次方程的关系
1(3分)若关于x的方程4x-b=0的解为x=2,则直线y=4x-b的图象一定经过点 (A)
A.(2,0) B.(0,3)
C.(0,4) D.(2,5)
2(3分)如图,一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则方程ax+4=0的解为 (A)
A.x=6　 B.x=3
C.x=-6　 D.x=-3
知识链接
当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
3(3分)若直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(-3,0),则关于x的方程kx+b=0的解是　x=-3　.
4(3分)如图,已知函数y=2x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),根据图象可得方程2x+b=ax-3的解是　x=-2　.
知识点二　单个一次函数图象的应用
5(3分)为了让更多的学生学会游泳,少年宫新建一个游泳池,其容积为480 m3,打开进水口注水时,游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图象如图所示,下列说法错误的是 (D)
A.注水2小时时,游泳池的蓄水量为380 m3
B.该游泳池内开始注水时已经蓄水100 m3
C.注水2小时时,还需注水100 m3,可将游泳池注满
D.每小时可注水190 m3
6(3分)甲车从A地出发匀速行驶,它行驶的路程y(单位:km)与行驶的时间x(单位:min)之间的函数关系如图所示.甲车出发20 min后,乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶.若乙车经过20 min~30 min追上甲车,则乙车的速度v(单位:km/min)的取值范围是　1.5≤v≤1.8　.
7 (8分·2025·大连中山区模拟)在一次蜡烛燃烧试验中,蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)求蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式;
(2)当x=0.6时,求蜡烛剩余部分的高度.
【解析】(1)设蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为y=kx+b,
把(2,0),(0,40)分别代入,得2k+b=0,b=40,
所以k=-20,
所以蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为y=-20x+40.
(2)当x=0.6时,y=-20×0.6+40=28,
所以当x=0.6时,蜡烛剩余部分的高度为28 cm.
巧提升
8(3分·2024·青海中考)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点的坐标是 (A)
A. (-,0)　B. (,0)　C.(0,3)　D.(0,-3)
9(3分·2025·朝阳双塔区模拟)一次函数y1=mx-2和y2=nx+1的图象都经过点A(2,3),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积是 (B)
A.2 B.3 C.4 D.5
10(3分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是正方形,点B的坐标为(4,4),直线y=mx-2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分,则m=　2　.
11(3分·2024·凉山州中考)如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC的面积为　9　.
培素养
12(12分·2025·辽阳白塔区模拟)利用杆秤称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得等式:(m0+x)·l=M·(a+y),其中秤盘质量m0克,重物质量x克,秤砣质量M克,秤纽与秤盘的水平距离为l厘米,秤纽与零刻线的水平距离为a厘米,秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.如图,秤盘与零刻度线的距离AC为3厘米,零刻线与末刻线的距离CD为50厘米,秤盘质量m0=10克,秤砣质量M=50克.某兴趣小组利用等式(m0+x)·l=M·(a+y)制作简易杆秤.
(1)确定秤纽的位置:当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请求出l,a的值;
(2)确定杆秤的最大称重质量:根据(1)中l,a的值,求y关于x的函数表达式,并求杆秤的最大称重质量(秤砣移至末刻线D处,秤得的物体质量);
(3)制作杆秤的刻度:将零刻线开始至末刻度线之间的线段CD平均分成10份(格),标注刻度值,则点E处应标注的刻度值为________克.
(4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时,误用了60克的秤砣进行称重,称得重物的质量为500克,则该重物的实际质量为________克.
【解析】(1)因为l+a=3,
所以l=3-a,
把m0=10,x=0,M=50,l=3-a,y=0代入(m0+x)·l=M·(a+y),得:
(10+0)×(3-a)=50(a+0),
解得a=0.5,所以l=3-0.5=2.5.
(2)将m0=10,M=50,a=0.5,l=2.5代入(m0+x)·l=M·(a+y),得(10+x)×2.5=50(0.5+y),
解得y=x;
当y=50时,则50=x,
所以x=1 000,
即杆秤的最大称重质量是1 000克.
(3)1 000÷10×6=600(克).
答案:600
(4)由(1)知,l=2.5 cm,a=0.5 cm,
当重物质量为500克时,则有:
(10+500)×2.5=50(0.5+y),
解得,y=25 cm,
而小组成员错误称量时,y值的长度为25 cm,用了60克的秤砣进行称重,
所以有:(10+m)×2.5=60×(0.5+25),
解得m=602,
即该重物的实际质量为602克.
答案:6024　一次函数的应用
第1课时　借助一次函数表达式解决一些简单问题
稳基础
知识点　确定一次函数的表达式
1(3分·2025·朝阳建平县模拟)元旦期间,某商场搞优惠促销活动,活动内容:“凡在本商场一次性购物超过100元者,超过100元的部分按9折优惠”.在此活动中,李明到该商场为单位一次性购买单价为60元的办公用品x(x>2)件,则应付款y(元)与商品件数x(件)之间的关系式是(B)
A.y=54x
B.y=54x+10
C.y=54x-90
D.y=54x+45
2(3分)一辆汽车在行驶的过程中,行驶的路程y(千米)随着行驶时间x(小时)的改变而改变,如果汽车行驶的速度是60千米/小时,那么x与y之间的关系式是　y=60x　.
3(8分)某公司要印制宣传材料,现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出:每份材料收1元印制费,另收1 500元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收2.5元印制费,不收制版费.设印制数量为x(份),甲,乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位:元).
(1)请写出y1=________　;y2=________　.
(2)印制800份宣传材料时,选择哪家印刷厂比较合算 并说明理由.
【解析】(1)由题意可知:
甲厂每份材料收1元印制费,另收1 500元制版,则y1=x+1 500,
乙场每份材料收2.5元印制费,不收制版费,则y2=2.5x.
答案:x+1 500　2.5x
(2)选择乙印刷厂比较合算,理由如下:
当x=800时,y1=x+1 500=800+1 500=2 300,y2=2.5x=2.5×800=2 000,2 300>2 000,选择乙印刷厂比较合算.
巧提升
4(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则直线BC的表达式为　y=3x+3　.
5(3分)学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.如图所示,l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系,则出发　0.35　h后两人相遇.
6(10分·2025·鞍山台安县模拟)为筹备乒乓球比赛,学校决定购买一批新乒乓球拍和乒乓球用于队员训练,商场里某品牌球拍定价为120元/只,乒乓球定价5元/个.商场搞促销活动,有两种方案可供选择,A方案:买一只球拍,赠送4个球;B方案:球拍和球均按定价的9折优惠.如果学校计划购买球拍20只,购买乒乓球若干个(不低于球拍的4倍).
(1)设购买乒乓球数为x(个),请分别写出两种方案付款金额yA、yB(元)与x之间的函数关系式;
(2)当购买多少个乒乓球时,费用最少
【解析】(1)根据题意可得:yA=20×120+5(x-20×4)=5x+2 000;
yB=20×120×90%+5x·90%=4.5x+2 160.
(2)因为购买乒乓球若干个(不低于球拍的4倍),
所以x≥80,
由(1)得yA=5x+2 000,yB=4.5x+2 160,
所以两种方案,总费用都随x的增大而增大,
所以当x=80时,
方案A费用最少为yA=5×80+2 000=2 400,
方案B费用最少为yB=4.5×80+2 160=2 520.
即当购买80个乒乓球时,费用最少,最少费用为2 400元.第2课时　借助单个一次函数图象解决实际问题
稳基础
知识点一　一次函数与一元一次方程的关系
1(3分)若关于x的方程4x-b=0的解为x=2,则直线y=4x-b的图象一定经过点 ( )
A.(2,0) B.(0,3)
C.(0,4) D.(2,5)
2(3分)如图,一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则方程ax+4=0的解为 ( )
A.x=6　 B.x=3
C.x=-6　 D.x=-3
知识链接
当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
3(3分)若直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(-3,0),则关于x的方程kx+b=0的解是 .
4(3分)如图,已知函数y=2x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),根据图象可得方程2x+b=ax-3的解是 .
知识点二　单个一次函数图象的应用
5(3分)为了让更多的学生学会游泳,少年宫新建一个游泳池,其容积为480 m3,打开进水口注水时,游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图象如图所示,下列说法错误的是 ( )
A.注水2小时时,游泳池的蓄水量为380 m3
B.该游泳池内开始注水时已经蓄水100 m3
C.注水2小时时,还需注水100 m3,可将游泳池注满
D.每小时可注水190 m3
6(3分)甲车从A地出发匀速行驶,它行驶的路程y(单位:km)与行驶的时间x(单位:min)之间的函数关系如图所示.甲车出发20 min后,乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶.若乙车经过20 min~30 min追上甲车,则乙车的速度v(单位:km/min)的取值范围是 .
7 (8分·2025·大连中山区模拟)在一次蜡烛燃烧试验中,蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)求蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式;
(2)当x=0.6时,求蜡烛剩余部分的高度.
巧提升
8(3分·2024·青海中考)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点的坐标是 ( )
A. (-,0)　B. (,0)　C.(0,3)　D.(0,-3)
9(3分·2025·朝阳双塔区模拟)一次函数y1=mx-2和y2=nx+1的图象都经过点A(2,3),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10(3分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是正方形,点B的坐标为(4,4),直线y=mx-2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分,则m= .
11(3分·2024·凉山州中考)如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC的面积为 .
培素养
12(12分·2025·辽阳白塔区模拟)利用杆秤称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得等式:(m0+x)·l=M·(a+y),其中秤盘质量m0克,重物质量x克,秤砣质量M克,秤纽与秤盘的水平距离为l厘米,秤纽与零刻线的水平距离为a厘米,秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.如图,秤盘与零刻度线的距离AC为3厘米,零刻线与末刻线的距离CD为50厘米,秤盘质量m0=10克,秤砣质量M=50克.某兴趣小组利用等式(m0+x)·l=M·(a+y)制作简易杆秤.
(1)确定秤纽的位置:当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请求出l,a的值;
(2)确定杆秤的最大称重质量:根据(1)中l,a的值,求y关于x的函数表达式,并求杆秤的最大称重质量(秤砣移至末刻线D处,秤得的物体质量);
(3)制作杆秤的刻度:将零刻线开始至末刻度线之间的线段CD平均分成10份(格),标注刻度值,则点E处应标注的刻度值为________克.
(4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时,误用了60克的秤砣进行称重,称得重物的质量为500克,则该重物的实际质量为________克. 第3课时　借助两个一次函数图象解决实际问题
稳基础
知识点　两个一次函数图象的应用
1(3分)某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡,设游泳次数为x时两种消费卡所需费用分别为y甲,y乙元,y甲,y乙与x的函数图象如图所示,当游泳次数为30时选择哪种消费卡更合算( )
A.甲种更合算 B.乙种更合算
C.两种一样合算 D.无法确定
2(10分·教材再开发·P99例3变式)已知A,B两地相距80 km,甲、乙两人沿同一条道路从A地到达B地.如图,l1,l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系.
(1)在甲出发 h时,两人相遇,这时他们离开A地 km;
(2)甲的速度是 km/h,乙的速度是 km/h;
(3)乙从A地出发 h时到达B地.
巧提升
3(3分)已知甲车从A地出发前往B地,同时乙车从B地出发前往A地,两车离A地距离y(千米)和行驶时间x(小时)的关系如图,则两车相遇时,甲车行驶的时间是 ( )
A.3.5小时 B.小时 C.2.5小时 D.3小时
4(12分·2025·本溪溪湖区模拟)甲、乙两车分别从相距15 km的沈阳科学宫和辽宁省博物馆同时匀速相向而行.甲车出发10 min后,由于交通管制,停止了2 min,再出发时速度比原来减少15 km/h,并安全到达终点.甲、乙两车距沈阳科学宫的路程y(单位:km)与两车行驶时间x(单位:h)的图象如图所示:
(1)填空:a=________;
(2)求乙车距沈阳科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)x=________ h时,甲、乙两车相遇.
培素养
5(12分·模型观念、应用意识)在一条笔直的公路上有A,B两地,甲、乙二人同时出发,甲从A地步行匀速前往B地,到达B地后,立刻以原速度沿原路返回A地.乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动),甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)A,B两地之间的距离是________米,乙的步行速度是________米/分钟.
(2)图中a=________,b=________,c=________.
(3)求线段MN的函数表达式.
(4)在乙运动的过程中,何时两人相距80米

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