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4　二元一次方程与一次函数
第1课时　二元一次方程与一次函数
稳基础
知识点一　二元一次方程与一次函数
1(8分)已知二元一次方程2x+3y-6=0,若把y看成x的函数,画出它的图象,根据图象回答:
(1)当y=-4,0,2时,对应的x值是多少
(2)当y=0时,对应的x值是哪个方程的解 解为多少
【解析】2x+3y-6=0,
3y=-2x+6,
y=-x+2.
(1)根据图象可得y=0时,x=3,
y=2时,x=0,y=-4时,x=9.
(2)当y=0时,对应的x值是方程-x+2=0的解,解为x=3.
知识点二　二元一次方程组与一次函数
2(3分·教材再开发·P129随堂练习T1变式)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的方程组的解是 (C)
A. B. C. D.
3(3分·2025·锦州黑山县质检)数形结合是解决数学问题常用的思想方法,如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0)的图象与直线y=x都经过A(m,1),则关于x,y的方程组的解为 (A)
A. B. C. D.
知识链接
从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
4(3分)已知在平面直角坐标系中,直线y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)与y=mx+n(m,n为常数,且m≠0)交于点P(-1,3),则关于x,y的二元一次方程组的解为 (A)
A. B. C. D.
5 (3分·2025·营口盖州市质检)如图,已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1相交于点C,与y轴分别相交于点A,B,则△ABC的面积是　2　.
知识点三　图象法解二元一次方程组
6(6分)(1)请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y1=x+1和y2=-x+3的图象;
(2)根据图象直接写出的解:_____;
(3)利用图象直接写出当x在什么范围内时,y1>0.
【解析】(1)如图所示:
(2)由(1)中两函数图象可知,其交点坐标为(1,2),
则的解为.
答案:
(3)由题图得,当x>-1时,y1>0.
巧提升
7(3分)如图,一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于(2,-1),则关于x,y的方程组的解为 (A)
A. B.
C. D.
易错点容易看错图象上的已知点,求错方程组的解
8(3分·易错题)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的方程组的解是 (B)
A. B.
C. D.
9(3分)已知直线y=x+2与直线y=-x-6相交于点P(-2,-3),则二元一次方程组的解是 　.
10(3分·2025·朝阳建平县质检)一次函数y1=k1x+b和y2=k2x的图象上一部分点的坐标见表,则方程组的解为x=　1　,y=　3　.
x … 2 1 0 -1 …
y1 … 0 3 6 9 …
y2 … 6 3 0 -3 …
培素养
11(12分·推理能力、创新意识)请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数y=-2|x|+2的图象和性质,并解决问题.
(1)①当x=0时,y=-2|x|+2=2;
②当x>0时,y=-2|x|+2=________　;
③当x<0时,y=-2|x|+2=________　;
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2)在平面直角坐标系中,作出函数y=-2|x|+2的图象.
(3)一次函数y=kx+b(k为常数,k≠0)的图象恒过点(1,3),若无解,结合函数的图象,直接写出k的取值范围.
【解析】(1)①当x=0时,y=-2|x|+2=2;
②当x>0时,y=-2|x|+2=-2x+2;
③当x<0时,y=-2|x|+2=2x+2.
答案:②-2x+2　③2x+2
(2)函数y=-2|x|+2的图象如图所示:
(3)如图所示,方程组无解,表示y=kx+b与函数y=-2|x|+2的图象没有交点,
①当k>0时,一次函数呈上升状态,要保证y=kx+b与y=-2|x|+2的图象没有交点,临界位置如l1所示,此时一次函数过点(1,3)和(0,2),k=1,在此基础上将l1顺时针旋转即符合题意,则k的取值范围为0②当k<0时,一次函数呈下降状态,要保证y=kx+b与y=-2|x|+2的图象没有交点,临界位置如l2所示,此时一次函数与y=-2x+2平行,k=-2,在此基础上将l2逆时针旋转符合题意且k=-2时也符合题意,则k的取值范围为-2≤k<0,
综上,k的取值范围为-2≤k<1且k≠0.第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式
稳基础
知识点一　待定系数法求一次函数表达式
1(3分)如图,线段AB对应的函数表达式为 ( )
A.y=-x+2
B.y=-x+2
C.y=-x+2(0≤x≤3)
D.y=-x+20(02(3分)若点A(2,m+1),点B(4,m)是一次函数y=kx+1(k≠0)图象上的两点,则k的值为( )
A.-2 B.2 C. D.-
3(3分·2025·丹东元宝区质检)在y=kx+b中,当x=1时,y=2;当x=2时,y=4,则k= ,b= .
4(6分)如图,一次函数y=k2x+b的图象与y轴交于点B,与正比例函数y=k1x的图象相交于点A(4,3),且OA=OB.分别求出这两个函数的表达式.
知识链接
先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法.
知识点二　用二元一次方程组解决一次函数综合性问题
5(3分)在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中,发现在水沸腾前,水的温度y(℃)与加热时间x(分钟)之间满足一次函数关系,如表记录了实验中温度y(℃)和时间x(分钟)变化的部分数据.
时间x/分钟 6 10 15 …
温度y/℃ 28 40 55 …
则加热18分钟时水的温度是 ( )
A.62℃ B.64 ℃ C.66 ℃ D.68 ℃
6(8分)在直角坐标系中,直线l1经过点(1,-3)和点(3,1),直线l2经过点(1,0),且与直线l1交于点A(2,a).
(1)求a的值;
(2)点A(2,a)可看成怎样的二元一次方程组的解
(3)设直线l1与y轴交于点B,直线l2与y轴交于点C,求△ABC的面积.
巧提升
7(3分·2025·锦州古塔区质检)经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树主干的直径)越大,树就越高.通过测量某种树,得到如表:
胸径x(m) … 0.2 0.28 0.36 0.42 0.52 …
树高y(m) … 20 22 24 26 28 …
已知树高y是其胸径x的一次函数.如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是( )
A.(0.28,22) B.(0.36,24)
C.(0.42,26) D.(0.52,28)
8(3分)一次函数y=kx+b的x与y的部分对应值如表所示,根据表中数值分析,下列说法正确的是 ( )
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -8 -5 -2 1 4 …
A.y的值随x值的增大而减小
B.该函数的图象不经过第四象限
C.关于x的方程kx+b=2的解是x=4
D.当x<-1时,kx+b<-5
9(3分)如果直线y=2x+3与直线y=3x-2b的交点在x轴上,那么b的值为 .
10(3分·2025·营口站前区质检)已知y=mx+1的图象经过A(1,-3),B(△,2)两点,点B的横坐标被△遮掩,被遮掩的数字是 .
11 (10分)共享电动车是一种新理念下的交通工具,给我们的出行提供了方便.现有A,B两种品牌的共享电动车,给出的图象反映了收费金额y(单位:元)与骑行时间x(单位:min)之间的对应关系,其中A品牌的收费金额对应y1,B品牌的收费金额对应y2.请根据相关信息:回答下列问题.
(1)分别求y1,y2关于x的函数表达式.
(2)当x为何值时,两种品牌的共享电动车收费金额相差2元
培素养
12(12分·推理能力、创新意识)学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t=________时甲、乙两人相遇,甲的速度为________米/分钟.
(2)求出线段AB所表示的函数表达式.第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式
稳基础
知识点一　待定系数法求一次函数表达式
1(3分)如图,线段AB对应的函数表达式为 (C)
A.y=-x+2
B.y=-x+2
C.y=-x+2(0≤x≤3)
D.y=-x+20(02(3分)若点A(2,m+1),点B(4,m)是一次函数y=kx+1(k≠0)图象上的两点,则k的值为(D)
A.-2 B.2 C. D.-
3(3分·2025·丹东元宝区质检)在y=kx+b中,当x=1时,y=2;当x=2时,y=4,则k=　2　,b=　0　.
4(6分)如图,一次函数y=k2x+b的图象与y轴交于点B,与正比例函数y=k1x的图象相交于点A(4,3),且OA=OB.分别求出这两个函数的表达式.
【解析】因为正比例函数y=k1x的图象经过点A(4,3),所以4k1=3,所以k1=,
所以正比例函数的表达式为y=x.
如图中,过点A作AC⊥x轴于点C,在Rt△AOC中,OC=4,AC=3,
所以AO==5,
所以OB=OA=5,
所以点B的坐标为(0,-5),
所以,解得,
所以一次函数的表达式为y=2x-5.
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先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法.
知识点二　用二元一次方程组解决一次函数综合性问题
5(3分)在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中,发现在水沸腾前,水的温度y(℃)与加热时间x(分钟)之间满足一次函数关系,如表记录了实验中温度y(℃)和时间x(分钟)变化的部分数据.
时间x/分钟 6 10 15 …
温度y/℃ 28 40 55 …
则加热18分钟时水的温度是 (B)
A.62℃ B.64 ℃ C.66 ℃ D.68 ℃
6(8分)在直角坐标系中,直线l1经过点(1,-3)和点(3,1),直线l2经过点(1,0),且与直线l1交于点A(2,a).
(1)求a的值;
(2)点A(2,a)可看成怎样的二元一次方程组的解
(3)设直线l1与y轴交于点B,直线l2与y轴交于点C,求△ABC的面积.
【解析】(1)设直线l1的表达式为y=kx+b,
把(1,-3)和(3,1)代入,
得,解得,
则直线l1的表达式为y=2x-5,
把A(2,a)代入y=2x-5,得a=2×2-5=-1;
(2)设l2的表达式为y=mx+n,
把A(2,-1),(1,0)代入,
得,解得,
所以l2的表达式为y=-x+1,
所以点A(2,a)可以看作是二元一次方程组的解;
(3)把x=0代入y=2x-5,得y=-5,
把x=0代入y=-x+1,得y=1,
所以点B的坐标为(0,-5),点C的坐标为(0,1),
所以BC=1-(-5)=6.
又因为点A的坐标为(2,-1),
所以S△ABC=×6×2=6.
巧提升
7(3分·2025·锦州古塔区质检)经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树主干的直径)越大,树就越高.通过测量某种树,得到如表:
胸径x(m) … 0.2 0.28 0.36 0.42 0.52 …
树高y(m) … 20 22 24 26 28 …
已知树高y是其胸径x的一次函数.如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是(C)
A.(0.28,22) B.(0.36,24)
C.(0.42,26) D.(0.52,28)
8(3分)一次函数y=kx+b的x与y的部分对应值如表所示,根据表中数值分析,下列说法正确的是 (D)
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -8 -5 -2 1 4 …
A.y的值随x值的增大而减小
B.该函数的图象不经过第四象限
C.关于x的方程kx+b=2的解是x=4
D.当x<-1时,kx+b<-5
9(3分)如果直线y=2x+3与直线y=3x-2b的交点在x轴上,那么b的值为　-　.
10(3分·2025·营口站前区质检)已知y=mx+1的图象经过A(1,-3),B(△,2)两点,点B的横坐标被△遮掩,被遮掩的数字是　-　.
11 (10分)共享电动车是一种新理念下的交通工具,给我们的出行提供了方便.现有A,B两种品牌的共享电动车,给出的图象反映了收费金额y(单位:元)与骑行时间x(单位:min)之间的对应关系,其中A品牌的收费金额对应y1,B品牌的收费金额对应y2.请根据相关信息:回答下列问题.
(1)分别求y1,y2关于x的函数表达式.
(2)当x为何值时,两种品牌的共享电动车收费金额相差2元
【解析】(1)设y1关于x的函数表达式为y1=k1x,把(20,8)代入y1=k1x,
所以20k1=8,解得k1=,
所以y1关于x的函数表达式为y1=x,
由题中图象可知,当0当x≥10时,设y2关于x的函数表达式为y2=k2x+b,把(10,5),(20,8)代入y2=k2x+b,
所以,解得,
所以y2=x+2.
综上所述,y2=;
(2)当0当10≤x≤20时,y2-y1=x+2-x=2,解得x=0(舍去);
当x>20时,y1-y2=x-(x+2)=2,解得x=40.
综上所述,当x=或40时,两种品牌的共享电动车收费金额相差2元.
培素养
12(12分·推理能力、创新意识)学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t=________时甲、乙两人相遇,甲的速度为________米/分钟.
(2)求出线段AB所表示的函数表达式.
【解析】(1)因为甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,t=24分钟时甲乙两人相遇,所以甲的速度为2 400÷60=40(米/分钟).
答案:24　40
(2)甲、乙两人的速度和为2 400÷24=100(米/分钟),所以乙的速度为100-40=60(米/分钟).
乙从图书馆回学校的时间为2 400÷60=40(分钟),100×(40-24)=1 600(米),
所以A点的坐标为(40,1 600).设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b,
因为A(40,1 600),B(60,2 400),
所以解得
所以线段AB所表示的函数表达式为y=40t(40≤t≤60).4　二元一次方程与一次函数
第1课时　二元一次方程与一次函数
稳基础
知识点一　二元一次方程与一次函数
1(8分)已知二元一次方程2x+3y-6=0,若把y看成x的函数,画出它的图象,根据图象回答:
(1)当y=-4,0,2时,对应的x值是多少
(2)当y=0时,对应的x值是哪个方程的解 解为多少
知识点二　二元一次方程组与一次函数
2(3分·教材再开发·P129随堂练习T1变式)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的方程组的解是 ( )
A. B. C. D.
3(3分·2025·锦州黑山县质检)数形结合是解决数学问题常用的思想方法,如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0)的图象与直线y=x都经过A(m,1),则关于x,y的方程组的解为 ( )
A. B. C. D.
知识链接
从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
4(3分)已知在平面直角坐标系中,直线y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)与y=mx+n(m,n为常数,且m≠0)交于点P(-1,3),则关于x,y的二元一次方程组的解为 ( )
A. B. C. D.
5 (3分·2025·营口盖州市质检)如图,已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1相交于点C,与y轴分别相交于点A,B,则△ABC的面积是 .
知识点三　图象法解二元一次方程组
6(6分)(1)请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y1=x+1和y2=-x+3的图象;
(2)根据图象直接写出的解:_____;
(3)利用图象直接写出当x在什么范围内时,y1>0.
巧提升
7(3分)如图,一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于(2,-1),则关于x,y的方程组的解为 ( )
A. B.
C. D.
易错点容易看错图象上的已知点,求错方程组的解
8(3分·易错题)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
9(3分)已知直线y=x+2与直线y=-x-6相交于点P(-2,-3),则二元一次方程组的解是 .
10(3分·2025·朝阳建平县质检)一次函数y1=k1x+b和y2=k2x的图象上一部分点的坐标见表,则方程组的解为x= ,y= .
x … 2 1 0 -1 …
y1 … 0 3 6 9 …
y2 … 6 3 0 -3 …
培素养
11(12分·推理能力、创新意识)请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数y=-2|x|+2的图象和性质,并解决问题.
(1)①当x=0时,y=-2|x|+2=2;
②当x>0时,y=-2|x|+2=________ ;
③当x<0时,y=-2|x|+2=________ ;
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2)在平面直角坐标系中,作出函数y=-2|x|+2的图象.
(3)一次函数y=kx+b(k为常数,k≠0)的图象恒过点(1,3),若无解,结合函数的图象,直接写出k的取值范围.

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