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第2课时　定理与证明
稳基础
知识点一　公理与定理的概念
1(3分)数学巨著《原本》以基本事实和原始概念为基础,推演出更多的结论,体现了公理化思想.《原本》的作者是(B)
A.阿基米德 B.欧几里得
C.毕达哥拉斯 D.泰勒斯
2(3分·2025·朝阳双塔区模拟)可以作为定理的有(A)
①一个能被2整除的数也必能被4整除;②相等的角是对顶角;③25与x的平均值是3;④三角形内角和为180°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点误将定理作为基本事实
3(3分·易错题)下列是基本事实的是(C)
A.对顶角相等
B.等角的余角相等
C.在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.内错角相等,两直线平行
4(3分·2025·大连中山区模拟)“两点确定一条直线”属于(C)
A.定义 B.定理
C.基本事实 D.以上答案都不对
5(3分)已知下列命题:
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等;
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等;
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等;
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.
其中真命题的个数是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
6(3分)以下4个命题:
①三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分;
②三角形的三条高所在的直线的交点一定在三角形的内部;
③直角三角形两锐角互余;
④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形.
其中真命题的个数是　2　.
知识链接
公认的真命题称为公理,经过证明的真命题称为定理,每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
知识点二　证明
7(6分)如图所示,∠AOB=∠COD=90°,那么∠AOC=　∠BOD　,依据是　同角的余角相等　.
8(8分·2025·鞍山铁东区模拟)补全下列推理过程:
如图,EF⊥BC,AD⊥BC,∠1=∠2,证明DG∥BA.
证明:∵EF⊥BC,AD⊥BC(已知),
∴∠BFE=∠BDA=90°(垂直的定义),
∴EF∥AD(　同位角相等,两直线平行　).
∴∠2=∠3(　两直线平行,同位角相等　).
∵∠1=∠2(已知),
∴　∠1=∠3　(等量代换).
∴DG∥AB(　内错角相等,两直线平行　).
巧提升
9(3分)定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是(A)
A.两点之间线段最短
B.边边边公理
C.同位角相等,两直线平行
D.垂线段最短
10(3分)下列说法中,正确的是(C)
A.经过证明的真命题叫作公理
B.假命题不是命题
C.要证明一个命题是假命题,只要举一个反例,说明它错误即可
D.要证明一个命题是真命题,只要举一个例子,说明它正确即可
11(3分·2025·沈阳沈河区模拟)老师布置了一项作业,对一个真命题进行证明,下面是小云给出的证明过程:
证明:∵b⊥a,
∴∠1=90°.
∵c⊥a,
∴∠2=90°,
∴∠1=∠2,
∴b∥c.
已知该证明过程是正确的,则证明的真命题是(A)
A.在同一平面内,若b⊥a,且c⊥a,则b∥c
B.在同一平面内,若b∥c,且b⊥a,则c⊥a
C.两直线平行,同位角不相等
D.两直线平行,同位角相等
12(6分)根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出:
已知:　△ABC中,AB=AC,D为BC中点(或BD=DC)　
求证:　AD平分∠BAC　.
培素养
13(13分·推理能力、创新意识)在学习了全等三角形和等边三角形的知识后,张老师出了如下一道题:如图,点B是线段AC上任意一点,分别以AB,BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE,连接CD,AE分别与BE和DB交于点N,M,连接MN.求证:△ABE≌△DBC.
接着张老师又让学生分小组进行探究:你还能得出什么结论
精英小组探究的结论是AM=DN.
奋斗小组探究的结论是△EMB≌△CNB.
创新小组探究的结论是MN∥AC.
(1)你认为哪一小组探究的结论是正确的
(2)选择其中你认为正确的一种情形加以证明.
【解析】(1)三个小组探究的结论都正确;
(2)∵△ABD和△BCE是等边三角形,
∴AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠ABE=∠DBC,在△ABE与△DBC中,
,∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴∠BAM=∠BDN,∠AEB=∠DCB,
在△ABM与△DBN中,
,
∴△ABM≌△DBN(ASA),
∴AM=DN,BM=BN,
∵∠MBN=180°-60°-60°=60°,
∴△BMN是等边三角形,∴∠BMN=60°,
∴∠BMN=∠ABM,∴NM∥AC,
在△EMB与△CNB中,,
∴△EMB≌△CNB(ASA).2　认识证明
第1课时　定义与命题
稳基础
知识点　定义与命题
1(3分)下列语句是命题的是(B)
A.画一条直线 B.正数都大于零
C.同位角相等吗 D.明天晴天吗
2(3分)下列命题的逆命题成立的是(D)
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.对顶角相等
D.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
知识链接
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.
易错点命题定义不清致错
3(3分·易错题)给出下列语句:①延长线段AB到点C;②垂线段最短;③过点A画直线EF;④在△ABC中,若AB>AC,则∠B>∠C.其中是命题的有(只填序号)　②④　.
巧提升
4(3分·2025·营口站前区模拟)把命题“同角的补角相等”改写成“如果……,那么……”的形式,改写正确的是(D)
A.如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
B.如果同角,那么补角相等
C.如果两个角相等,那么这两个角的补角也相等
D.如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等
知识链接
一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成,条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.
5(3分)已知下列命题:①若>1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等;⑤直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是　③⑤　.(只填写序号)
6(7分)如图,在△ABC中,点D,E在BC上,BD=DE=EC.
(1)从①AB=AC,②AD=AE中,选择一个作为条件,另外一个作为结论,构成一个真命题,并证明;条件:________,结论:_____(填序号).
(2)在(1)的条件下,当AD=DE时,求∠BAC的度数.
【解析】(1)条件:AB=AC;结论:AD=AE.
因为AB=AC,所以∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,,
所以△ABD≌△ACE(SAS),所以AD=AE.
答案:①　②
(2)因为AD=AE,AD=DE,
所以△ADE是等边三角形,
所以∠ADE=∠AED=∠DAE=60°,
所以∠B+∠BAD+∠C+∠CAE=180°-60°=120°,
因为DE=BD=CE=AD=AE,
所以∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,所以∠BAD+∠CAE=(∠B+∠BAD+∠C+∠CAE)=60°,所以∠BAC=60°+60°=120°.
培素养
7(8分·新趋势·代数推理·2024·福建中考)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)说明:b2-12ac为非负数.
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.
【解析】(1)因为3m+n=,mn=,
所以b=a(3m+n),c=amn,则b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2,
因为a,m,n是实数,
所以a2(3m-n)2≥0,
所以b2-12ac为非负数.
(2)m,n不可能都为整数.
理由如下:若m,n都为整数,其可能情况有:m,n都为奇数;或m,n为整数,且其中至少有一个为偶数.
①当m,n都为奇数时,3m+n必为偶数,又因为3m+n=,
所以b=a(3m+n).
因为a为奇数,
所以a(3m+n)必为偶数,这与b为奇数矛盾;
②当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,mn必为偶数,
又因为mn=,
所以c=amn,
因为a为奇数,
所以amn必为偶数,这与c为奇数矛盾.
综上所述,m,n不可能都为整数.2　认识证明
第1课时　定义与命题
稳基础
知识点　定义与命题
1(3分)下列语句是命题的是( )
A.画一条直线 B.正数都大于零
C.同位角相等吗 D.明天晴天吗
2(3分)下列命题的逆命题成立的是( )
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.对顶角相等
D.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
知识链接
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.
易错点命题定义不清致错
3(3分·易错题)给出下列语句:①延长线段AB到点C;②垂线段最短;③过点A画直线EF;④在△ABC中,若AB>AC,则∠B>∠C.其中是命题的有(只填序号) .
巧提升
4(3分·2025·营口站前区模拟)把命题“同角的补角相等”改写成“如果……,那么……”的形式,改写正确的是( )
A.如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
B.如果同角,那么补角相等
C.如果两个角相等,那么这两个角的补角也相等
D.如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等
知识链接
一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成,条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.
5(3分)已知下列命题:①若>1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等;⑤直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是 .(只填写序号)
6(7分)如图,在△ABC中,点D,E在BC上,BD=DE=EC.
(1)从①AB=AC,②AD=AE中,选择一个作为条件,另外一个作为结论,构成一个真命题,并证明;条件:________,结论:_____(填序号).
(2)在(1)的条件下,当AD=DE时,求∠BAC的度数.
培素养
7(8分·新趋势·代数推理·2024·福建中考)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)说明:b2-12ac为非负数.
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.第2课时　定理与证明
稳基础
知识点一　公理与定理的概念
1(3分)数学巨著《原本》以基本事实和原始概念为基础,推演出更多的结论,体现了公理化思想.《原本》的作者是( )
A.阿基米德 B.欧几里得
C.毕达哥拉斯 D.泰勒斯
2(3分·2025·朝阳双塔区模拟)可以作为定理的有( )
①一个能被2整除的数也必能被4整除;②相等的角是对顶角;③25与x的平均值是3;④三角形内角和为180°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点误将定理作为基本事实
3(3分·易错题)下列是基本事实的是( )
A.对顶角相等
B.等角的余角相等
C.在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.内错角相等,两直线平行
4(3分·2025·大连中山区模拟)“两点确定一条直线”属于( )
A.定义 B.定理
C.基本事实 D.以上答案都不对
5(3分)已知下列命题:
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等;
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等;
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等;
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6(3分)以下4个命题:
①三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分;
②三角形的三条高所在的直线的交点一定在三角形的内部;
③直角三角形两锐角互余;
④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形.
其中真命题的个数是 .
知识链接
公认的真命题称为公理,经过证明的真命题称为定理,每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
知识点二　证明
7(6分)如图所示,∠AOB=∠COD=90°,那么∠AOC= ,依据是 .
8(8分·2025·鞍山铁东区模拟)补全下列推理过程:
如图,EF⊥BC,AD⊥BC,∠1=∠2,证明DG∥BA.
证明:∵EF⊥BC,AD⊥BC(已知),
∴∠BFE=∠BDA=90°(垂直的定义),
∴EF∥AD( ).
∴∠2=∠3( ).
∵∠1=∠2(已知),
∴ (等量代换).
∴DG∥AB( ).
巧提升
9(3分)定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是( )
A.两点之间线段最短
B.边边边公理
C.同位角相等,两直线平行
D.垂线段最短
10(3分)下列说法中,正确的是( )
A.经过证明的真命题叫作公理
B.假命题不是命题
C.要证明一个命题是假命题,只要举一个反例,说明它错误即可
D.要证明一个命题是真命题,只要举一个例子,说明它正确即可
11(3分·2025·沈阳沈河区模拟)老师布置了一项作业,对一个真命题进行证明,下面是小云给出的证明过程:
证明:∵b⊥a,
∴∠1=90°.
∵c⊥a,
∴∠2=90°,
∴∠1=∠2,
∴b∥c.
已知该证明过程是正确的,则证明的真命题是( )
A.在同一平面内,若b⊥a,且c⊥a,则b∥c
B.在同一平面内,若b∥c,且b⊥a,则c⊥a
C.两直线平行,同位角不相等
D.两直线平行,同位角相等
12(6分)根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出:
已知:
求证: .
培素养
13(13分·推理能力、创新意识)在学习了全等三角形和等边三角形的知识后,张老师出了如下一道题:如图,点B是线段AC上任意一点,分别以AB,BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE,连接CD,AE分别与BE和DB交于点N,M,连接MN.求证:△ABE≌△DBC.
接着张老师又让学生分小组进行探究:你还能得出什么结论
精英小组探究的结论是AM=DN.
奋斗小组探究的结论是△EMB≌△CNB.
创新小组探究的结论是MN∥AC.
(1)你认为哪一小组探究的结论是正确的
(2)选择其中你认为正确的一种情形加以证明.

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