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第七章　证明
单元素养测评卷
120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列命题是真命题的是 (A)
A.两直线平行,同位角相等 　 B.如果>0,那么a>0,b>0
C.三角形三条中线不一定交于一点 　 D.所有合数都是偶数
2.甲、乙、丙、丁、戊五位同学,他们的年龄之间的关系为:丙没有丁大,乙比甲大,戊不比丁小,而乙不比丙大.请你判断谁的年龄最小 (A)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.如图,已知直线a⊥c,b⊥c,∠1=72°,那么∠2的度数是 (D)
A.72° B.82° C.92° D.108°
4.如图,探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关,如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB,OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α,∠DCO=β,则∠BOC的度数为 (B)
A.180°-α-β B.α+β
C.(α+β) D.90°+(β-α)
5.(2025·鞍山铁西区模拟)下列选项中,可以用来说明命题“若|a|>0,则a>0”是假命题的反例是 (A)
A.a=-2 B.a=0 C.a=1 D.a=2
6.下列命题中,错误的是 (B)
A.同位角相等,两直线平行
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.两点确定一条直线
D.平行于同一条直线的两条直线平行
7.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,连接EF,AC,且∠D=110°,∠EFD=70°,∠1=∠2.求证:∠AEF=∠B.①~⑤是排乱的部分证明步骤,正确的顺序是 (B)
①∵∠1=∠2;
②∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B;
③∵∠D+∠EFD=180°;
④∴AD∥BC;
⑤∴AD∥EF.
A.①④③②⑤ B.③⑤①④②
C.③④①②⑤ D.①⑤③④②
8.将一块直角三角尺ABC按如图方式放置,其中∠ABC=30°,A,B两点分别落在直线m,n上,∠1=20°,要使直线m∥n,则可添加条件(D)
A.∠2=20° B.∠2=30°
C.∠2=45° D.∠2=50°
9.如图,B处在A处的南偏西30°方向,C处在A处的南偏东20°方向,C处在B处的北偏东80°方向,则∠ACB的度数是 (C)
A.60° B.70° C.80° D.90°
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是 (B)
A. B.1 C. D.
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2024·无锡中考)命题“若a>b,则a-312.如图,两平面镜α,β的夹角为θ,入射光线AO平行于β入射到α上,经两次反射后的出射光线O'B平行于α,则∠θ等于　60　°.
13.近几年中学生近视的现象越来越严重,为保护视力,某公司推出了护眼灯,其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中BC⊥AB,DE∥AB,经使用发现,当∠EDC=126°时,台灯光线最佳,则此时∠DCB的度数为 　144°　 .
14.如图,已知CD平分∠ACB,DE∥AC,∠1=20°,则∠2=　40　°.
15.如图,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,设∠1为x°,请用关于x的代数式表示∠α的度数,∠α=　90°-x°　 .
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)如图是一种躺椅及其简化结构示意图,扶手AB与底座CD都平行于地面,靠背DM与支架OE平行,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,当∠EOF=90°,∠ODC=30°时,人躺着最舒服,求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数.
【解析】∵扶手AB与底座CD都平行于地面,
∴AB∥CD,∴∠ODC=∠BOD=30°,
又∵∠EOF=90°,∴∠AOE=60°,
∵DM∥OE,∴∠AND=∠AOE=60°,
∴∠ANM=180°-∠AND=120°.
17.(8分)如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C.在横线上补充过程,并在括号内写出理由.
因为∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°,
所以∠1=∠CDB (同角的补角相等),
所以AE∥FC(同位角相等,两直线平行),
所以∠C=∠CBE (两直线平行,内错角相等).
又因为∠A=∠C,
所以∠A=∠CBE,
所以AD∥BC (同位角相等,两直线平行).
【解析】∵∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°,
∴∠1=∠CDB(同角的补角相等),
∴AE∥FC(同位角相等,两直线平行),
∴∠C=∠CBE(两直线平行,内错角相等),
又∵∠A=∠C,
∴∠A=∠CBE,
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
18.(8分)如图,已知∠α和∠β的度数满足方程组,且CD∥EF,AC⊥AE.
(1)分别求∠α和∠β的度数;
(2)求∠C的度数.
【解析】(1)解方程组,
①-②得:3∠α=150°,解得∠α=50°,
把∠α=50°代入②得:∠β-50°=80°,解得∠β=130°;
(2)∵∠α+∠β=50°+130°=180°,∴AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行),
又∵CD∥EF,∴AB∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,
∵AC⊥AE,∴∠CAE=90°,∴∠C=180°-90°-50°=40°.
19.(8分)如图,∠1=∠BCE,∠2+∠3=180°.
(1)判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(2)若CA平分∠BCE,EF⊥AB于F,∠1=72°,求∠BAD的度数.
【解析】(1)AC∥EF.理由:∵∠1=∠BCE,
∴AD∥CE.∴∠2=∠4.∵∠2+∠3=180°,
∴∠4+∠3=180°.∴EF∥AC.
(2)∵AD∥EC,CA平分∠BCE,∴∠ACD=∠4=∠2.
∵∠1=72°,∴∠2=36°.∵EF∥AC,EF⊥AB于F,
∴∠BAC=∠F=90°.∴∠BAD=∠BAC-∠2=54°.
20.(8分·2025·沈阳大东区模拟)已知:如图,C,D是直线AB上两点,∠1+∠2=180°,DE平分∠CDF,FE∥DC.
(1)求证:CE∥DF;
(2)若∠DCE=130°,求∠DEF的度数.
【解析】(1)∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
∴∠2=∠3,
∴CE∥DF.
(2)∵CE∥DF,∠DCE=130°,
∴∠CDF=180°-∠DCE=180°-130°=50°,
∵DE平分∠CDF,
∴∠CDE=∠CDF=25°,
∵FE∥DC,
∴∠DEF=∠CDE=25°.
21.(10分)如图,已知△ABC,∠ACB=80°,点E,F分别在AB,AC上,ED交AC于点G,交BC的延长线于点D,∠FEG=32°,∠CGD=48°.求证:EF∥BC.
【证明】∵∠CGD=48°,∴∠EGF=∠CGD=48°,
∵∠FEG=32°,
∴∠GFE=180°-∠EGF-∠FEG=180°-48°-32°=100°,
∵∠ACB=80°,
∴∠GFE+∠ACB=180°,
∴EF∥BC.
22.(12分·2025·本溪明山区模拟)如图1,对于两条直线l1,l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α,∠β满足∠β=∠α+30°,则称∠β是∠α的关联角.
(1)已知∠β是∠α的关联角.
①当∠α=50°时,∠β=80°;
②当2∠α-∠β=45°时,直线l1,l2的位置关系为平行;
(2)如图2,已知∠AGH是∠CHG的关联角,点O是直线EF上一定点.
①求证:∠DHG是∠BGH的关联角;
②过点O的直线MN分别交直线CD,AB于点P,Q,且∠CHG=80°.当∠EOP是图中某角的关联角时,写出所有符合条件的∠EOP的度数为140°,145°或155°.
【解析】(1)①∵∠β是∠α的关联角,∠α=50°,
∴∠β=∠α+30°=50°+30°=80°.
②由题意可得方程组,解得,
∴∠α+∠β=75°+105°=180°,
∴l1∥l2.
(2)①∵∠AGH是∠CHG的关联角,
∴∠AGH=∠CHG+30°,
又∵∠DHG=180°-∠CHG,∠BGH=180°-∠AGH,
∴∠DHG-∠BGH=180°-∠CHG-(180°-∠AGH)=∠AGH-∠CHG=30°,
∴∠DHG=∠BGH+30°,
∴∠DHG是∠BGH的关联角.
②当直线MN位于如图所示位置时:
∵∠AGH是∠CHG的关联角,∠CHG=80°,
∴∠AGH=∠CHG+30°=80°+30°=110°.
若∠EOP是∠AGO的关联角,则∠EOP=∠AGO+30°=110°+30°=140°.
若∠EOP是∠CPO的关联角,则∠EOP=∠CPO+30°=180°-∠OPH+30°=∠PHO+∠POH+30°=80°+180°-∠EOP+30°=290°-∠EOP,解得∠EOP=145°.
当直线MN位于如图所示位置时:
∵∠AGH=110°,∠CHG=80°,
∴∠BGH=180°-∠AGH=180°-110°=70°,∠GHD=180°-∠CHG=180°-80°=100°,
若∠EOP是∠BGO的关联角,则∠EOP=∠BGO+30°=70°+30°=100°.
∵∠EOP+∠POH=180°,∠POH+∠GHD+∠OPH=180°,
∴∠EOP=∠GHD+∠OPH=100°+∠OPH>100°,
∴∠EOP=100°(舍去).
若∠EOP是∠DPO的关联角,则∠EOP=∠DPO+30°=180°-∠OPH+30°=∠OHP+∠HOP+30°=100°+180°-∠EOP+30°=310°-∠EOP,解得∠EOP=155°.
23.(13分)【理解探究】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为90°,于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形.
【问题解决】
(1)如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,求证:△ADC≌△CEB;
【问题探究】
(2)如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于D,BE⊥CE于E,AD=8 cm,BE=3 cm,求DE的长;
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰直角△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,且在平面直角坐标系中,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(7,3),点B是第一、第三象限的角平分线l上的一个点,求点C的坐标.
【解析】(1)∵AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠D=∠E=90°=∠ACB,
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD,
∴∠BCE=∠CAD,
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠BEC=90°=∠ACB,
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD,
∴∠BCE=∠CAD,
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE=8 cm,BE=CD=3 cm,
∴DE=CE-CD=5 cm.
(3)如图3,当点B在第一象限角平分线上时,过点A作AD⊥直线CO于D,过点B作BE⊥直线AD于E,
∴∠ADC=∠BEA=90°=∠CAB,
∴∠CAD+∠BAE=90°=∠CAD+∠ACD,
∴∠ACD=∠BAE,
又∵AB=AC,
∴△ACD≌△BAE(AAS),
∴AD=BE,CD=AE,
∵点A的坐标为(7,3),
∴AD=7,DO=3,
∴BE=AD=7,DE=7+3=10=DA+AE,
∴AE=CD=3,
∴CO=6,
∴点C的坐标为(0,6);
如图4,当点B在第三象限角平分线上时,过点A作AD⊥直线CO于D,过点B作BE⊥直线AD于E,
同理可求:△ACD≌△BAE(AAS),
∴AD=BE,CD=AE,
∵点A的坐标为(7,3),
∴AD=7,DO=3,
∴AD=BE=7,
∴DE=4,
∴AE=CD=11,
∴CO=14,
∴点C的坐标为(0,14),
综上所述:点C的坐标为(0,14)或(0,6).第七章　证明
单元素养测评卷
120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列命题是真命题的是 ( )
A.两直线平行,同位角相等 　 B.如果>0,那么a>0,b>0
C.三角形三条中线不一定交于一点 　 D.所有合数都是偶数
2.甲、乙、丙、丁、戊五位同学,他们的年龄之间的关系为:丙没有丁大,乙比甲大,戊不比丁小,而乙不比丙大.请你判断谁的年龄最小 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.如图,已知直线a⊥c,b⊥c,∠1=72°,那么∠2的度数是 ( )
A.72° B.82° C.92° D.108°
4.如图,探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关,如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB,OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α,∠DCO=β,则∠BOC的度数为 ( )
A.180°-α-β B.α+β
C.(α+β) D.90°+(β-α)
5.(2025·鞍山铁西区模拟)下列选项中,可以用来说明命题“若|a|>0,则a>0”是假命题的反例是 ( )
A.a=-2 B.a=0 C.a=1 D.a=2
6.下列命题中,错误的是 ( )
A.同位角相等,两直线平行
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.两点确定一条直线
D.平行于同一条直线的两条直线平行
7.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,连接EF,AC,且∠D=110°,∠EFD=70°,∠1=∠2.求证:∠AEF=∠B.①~⑤是排乱的部分证明步骤,正确的顺序是 ( )
①∵∠1=∠2;
②∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B;
③∵∠D+∠EFD=180°;
④∴AD∥BC;
⑤∴AD∥EF.
A.①④③②⑤ B.③⑤①④②
C.③④①②⑤ D.①⑤③④②
8.将一块直角三角尺ABC按如图方式放置,其中∠ABC=30°,A,B两点分别落在直线m,n上,∠1=20°,要使直线m∥n,则可添加条件( )
A.∠2=20° B.∠2=30°
C.∠2=45° D.∠2=50°
9.如图,B处在A处的南偏西30°方向,C处在A处的南偏东20°方向,C处在B处的北偏东80°方向,则∠ACB的度数是 ( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是 ( )
A. B.1 C. D.
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2024·无锡中考)命题“若a>b,则a-312.如图,两平面镜α,β的夹角为θ,入射光线AO平行于β入射到α上,经两次反射后的出射光线O'B平行于α,则∠θ等于 °.
13.近几年中学生近视的现象越来越严重,为保护视力,某公司推出了护眼灯,其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中BC⊥AB,DE∥AB,经使用发现,当∠EDC=126°时,台灯光线最佳,则此时∠DCB的度数为 .
14.如图,已知CD平分∠ACB,DE∥AC,∠1=20°,则∠2= °.
15.如图,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,设∠1为x°,请用关于x的代数式表示∠α的度数,∠α= .
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)如图是一种躺椅及其简化结构示意图,扶手AB与底座CD都平行于地面,靠背DM与支架OE平行,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,当∠EOF=90°,∠ODC=30°时,人躺着最舒服,求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数.
17.(8分)如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C.在横线上补充过程,并在括号内写出理由.
因为∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°,
所以∠1= ( ),
所以AE∥FC( ),
所以∠C= ( ).
又因为∠A=∠C,
所以∠A=∠CBE,
所以 ∥ ( ).
18.(8分)如图,已知∠α和∠β的度数满足方程组,且CD∥EF,AC⊥AE.
(1)分别求∠α和∠β的度数;
(2)求∠C的度数.
19.(8分)如图,∠1=∠BCE,∠2+∠3=180°.
(1)判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(2)若CA平分∠BCE,EF⊥AB于F,∠1=72°,求∠BAD的度数.
20.(8分·2025·沈阳大东区模拟)已知:如图,C,D是直线AB上两点,∠1+∠2=180°,DE平分∠CDF,FE∥DC.
(1)求证:CE∥DF;
(2)若∠DCE=130°,求∠DEF的度数.
21.(10分)如图,已知△ABC,∠ACB=80°,点E,F分别在AB,AC上,ED交AC于点G,交BC的延长线于点D,∠FEG=32°,∠CGD=48°.求证:EF∥BC.
22.(12分·2025·本溪明山区模拟)如图1,对于两条直线l1,l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α,∠β满足∠β=∠α+30°,则称∠β是∠α的关联角.
(1)已知∠β是∠α的关联角.
①当∠α=50°时,∠β= °; ②当2∠α-∠β=45°时,直线l1,l2的位置关系为 ;
(2)如图2,已知∠AGH是∠CHG的关联角,点O是直线EF上一定点.
①求证:∠DHG是∠BGH的关联角;
②过点O的直线MN分别交直线CD,AB于点P,Q,且∠CHG=80°.当∠EOP是图中某角的关联角时,写出所有符合条件的∠EOP的度数为 .
23.(13分)【理解探究】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为90°,于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形.
【问题解决】
(1)如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,求证:△ADC≌△CEB;
【问题探究】
(2)如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于D,BE⊥CE于E,AD=8 cm,BE=3 cm,求DE的长;
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰直角△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,且在平面直角坐标系中,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(7,3),点B是第一、第三象限的角平分线l上的一个点,求点C的坐标.

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