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第一章　勾股定理
单元素养测评卷 120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(C)
A.(c+b)(c-b)=a2 B.∠A=65°,∠B=25°
C.a=32,b=42,c=52 D.a2=1,b2=2,c2=3
2.下列各组数中,是勾股数的是(D)
A.4,5,6 B.1,2,3
C.1.5,2,2.5 D.9,40,41
3.(2025·锦州凌河区质检)如图,小明将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端5 m处,发现此时绳子底端距离打结处约1 m.如果设旗杆的高度为x m,那么根据题意可列方程为(D)
A.(x-1)2+52=x2 B.(x+1)2+52=x2
C.x2+52=(x-1)2 D.x2+52=(x+1)2
4.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能验证勾股定理的是(C)
5.如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是(B)
A.4π B.8π C.12π D.16π
6.如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是(A)
A.5∶8 B.3∶4
C.9∶16 D.1∶2
7.如图,长方体的底面边长分别为3 cm和9 cm,高为7 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为(D)
A.20 cm B.22 cm C.24 cm D.25 cm
8.(2025·大连西岗区质检)如图,∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4.若∠ABD=90°,则AD的长为(B)
A.10 B.13 C.8 D.11
9.如图,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离是(D)
A.28 km B.30 km C.40 km D.50 km
10.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG,正方形ACHI,正方形BCDE.连接GI,EF,DH,若EF2=34,DH=4,则六边形EDHIGF的面积为(A)
A.28 B.26
C.32 D.30
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.若直角三角形的各边长扩大相同的倍数,则得到的三角形一定是　直角三角形　.(填三角形的类型)
12.一个直角三角形的三边长为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积是　13或5　.
13.(2025·辽阳文圣区质检)如图,池塘边有两点A,B,点C是与AB方向成直角的BC方向上一点,测得BC=80 m,AC=170 m,则A,B两点间的距离为　150　m.
14.如图,供给船要给C岛运送物资,从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60 n mile到达C岛,测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向.若A,B两港口之间的距离为65 n mile,则C岛到港口B的距离是　25　 n mile.
15.动手操作:在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A'处,折痕为PQ,当点A'在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动,则点A'在BC边上可移动的最大距离为　2　.
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处,发现它的正上方点B处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是按如图所示的路线,绕到虫子后面吃掉它.已知树干横截面的周长为20 cm,A,B两点的距离为15 cm.若螳螂想吃掉在点B的小虫子,求螳螂绕行的最短路程.
【解析】把这段树干看成用纸卷成的圆柱,从AB处将它展开如图:
则AB即为所求的最短距离.
其中BC=15 cm,AC=20 cm,
在Rt△ACB中,AB=25 cm.
答:螳螂绕行的最短路程是25 cm.
17.(8分)如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F是AD上一点,且AF=AD,试证明△FEC是直角三角形.
【证明】设AF=a,则AD=DC=4a,DF=3a,AE=BE=2a,
在Rt△DCF和Rt△AFE和Rt△BCE中,CF2=DF2+DC2=(3a)2+(4a)2=25a2,
FE2=AE2+AF2=(2a)2+a2=5a2,CE2=BE2+BC2=20a2,
所以CF2=FE2+CE2,所以△FEC是直角三角形.
18.(8分)如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图,王强同学测量出BC=1 m,NC= m,BN= m,AC=4.5 m,MC=6 m,求MA的长.
【解析】因为BC=1 m,NC= m,BN= m,
所以BC 2=1,NC 2=,BN2=,
所以BC 2+NC 2=BN2,所以AC⊥MC.
在Rt△ACM中,
因为AC=4.5 m,MC=6 m,MA2=AC 2+CM2=56.25,
所以MA=7.5 m.
19.(8分·2025·营口盖州市质检)如图,一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上,这时底端B到墙角C的距离为3米.
(1)此时,这架梯子的顶端A距离地面多少米
【解析】(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+CB2=AB2,
即AC2+32=52,所以AC=4米,
即这架梯子的顶端A距离地面4米.
(2)如果梯子的底端B向内移动1.6米,则顶端A沿墙向上移动多少米
【解析】(2)CE=3-1.6=1.4(米),DE=5米,
在Rt△DCE中,由勾股定理得DC2+CE2=DE2,
即DC2+1.42=52,
所以CD=4.8米,
所以AD=CD-AC=4.8-4=0.8米,
即梯子的顶端A沿墙向上移动了0.8米.
20.(8分·2025·鞍山铁西区质检)如图,在一个长AB=7米,宽AD=6米的长方形草地上放着一根长方体木块,已知该木块的较长边和草地宽AD平行,横截面是边长为0.5米的正方形,一只蚂蚁从点A处,爬过木块到达C处需要走的最短路程是多少米
【解析】由题意可知,将木块展开,相当于是AB+2个正方形的边长,
所以长为7+2×0.5=8(米),宽AD=6米.
则AC2=82+62=100,AC=10米.
答:最短路程是10米.
21.(10分)操作与探究
(1)图1是由5个边长为1的正方形组成的,把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形(内部的粗实线表示分割线),请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形,并在大正方形内部标注出五部分的序号;
【解析】(1)如图即为拼接成的大正方形;
(2)如图,如果设(1)中分割成的直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c.请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理.
【解析】(2)大正方形的面积=4×ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2,
又因为大正方形的面积=c2,
所以a2+b2=c2.
22.(12分·2025·大连旅顺口区质检)如图,在Rt△ABC中,已知∠A=90°,D是斜边BC的中点,DE⊥BC交AB于点E,连接CE.
(1)试说明:BE2-AE2=AC2;
【解析】(1)因为D是斜边BC的中点,DE⊥BC,所以DE是线段BC的垂直平分线,
所以BE=CE.
在Rt△ACE中,由勾股定理得CE2=AC2+AE2,
所以BE2=AC2+AE2,即BE2-AE2=AC2.
(2)若AC=6,BD=5,求△ACE的周长及AE的长.
【解析】(2)因为D是斜边BC的中点,BD=5,所以BC=2BD=10.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=BC2-AC2=64,所以AB=8,
所以AB=BE+AE=8.
又因为BE=CE,所以CE+AE=8,
所以△ACE的周长为CE+AE+AC=8+6=14.
因为BE2-AE2=AC2,所以(AB-AE)2-AE2=AC2,
即(8-AE)2-AE2=62,
解得AE=.
23.(13分)如图,已知圆柱底面的周长为12,圆柱的高为20,在圆柱的侧面上,过点A,C嵌有一圈长度最短的金属丝.
(1)如图①,现将圆柱侧面沿AB剪开,所得的圆柱侧面展开图是________.
【解析】(1)答案:A
(2)如图②,若将金属丝从点B绕4圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少
【解析】(2)由题意得,从点B绕圆柱1圈到达圆柱高度的位置所需的金属丝的最短长度的平方为122+()2=169,
所以绕1圈所需的金属丝的最短长度为13,
所以绕4圈所需的金属丝的最短长度为4×13=52;
(3)现有一个长、宽、高分别为8 dm,7 dm,4 dm的无盖长方体木箱(如图③,AB=8 dm,BC=7 dm,AE=4 dm).现在箱外的点A处有一只蜘蛛,箱内的点C处有一只小虫正在午睡,保持不动.请你为蜘蛛设计一种捕虫方案,使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫,并计算出此最短路程.(木板的厚度忽略不计)
【解析】(3)如图,作C关于GE的对称点M,连接AM交GE于F,
根据两点之间线段最短,得AM就是最短路径,
由题意得:AC=AB+BC=15 dm,CM=2GC=2AE=8 dm,∠ACM=90°,
所以AM2=AC2+CM2=152+82=289,
所以AM=17 dm,
所以小虫从A爬到F,再从里面爬到C,路程最短,为17 dm.第一章　勾股定理
单元素养测评卷 120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.(c+b)(c-b)=a2 B.∠A=65°,∠B=25°
C.a=32,b=42,c=52 D.a2=1,b2=2,c2=3
2.下列各组数中,是勾股数的是( )
A.4,5,6 B.1,2,3
C.1.5,2,2.5 D.9,40,41
3.(2025·锦州凌河区质检)如图,小明将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端5 m处,发现此时绳子底端距离打结处约1 m.如果设旗杆的高度为x m,那么根据题意可列方程为( )
A.(x-1)2+52=x2 B.(x+1)2+52=x2
C.x2+52=(x-1)2 D.x2+52=(x+1)2
4.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能验证勾股定理的是( )
5.如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是( )
A.4π B.8π C.12π D.16π
6.如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )
A.5∶8 B.3∶4
C.9∶16 D.1∶2
7.如图,长方体的底面边长分别为3 cm和9 cm,高为7 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为( )
A.20 cm B.22 cm C.24 cm D.25 cm
8.(2025·大连西岗区质检)如图,∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4.若∠ABD=90°,则AD的长为( )
A.10 B.13 C.8 D.11
9.如图,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离是( )
A.28 km B.30 km C.40 km D.50 km
10.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG,正方形ACHI,正方形BCDE.连接GI,EF,DH,若EF2=34,DH=4,则六边形EDHIGF的面积为( )
A.28 B.26
C.32 D.30
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.若直角三角形的各边长扩大相同的倍数,则得到的三角形一定是 .(填三角形的类型)
12.一个直角三角形的三边长为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积是 .
13.(2025·辽阳文圣区质检)如图,池塘边有两点A,B,点C是与AB方向成直角的BC方向上一点,测得BC=80 m,AC=170 m,则A,B两点间的距离为 m.
14.如图,供给船要给C岛运送物资,从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60 n mile到达C岛,测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向.若A,B两港口之间的距离为65 n mile,则C岛到港口B的距离是 n mile.
15.动手操作:在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A'处,折痕为PQ,当点A'在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动,则点A'在BC边上可移动的最大距离为 .
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处,发现它的正上方点B处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是按如图所示的路线,绕到虫子后面吃掉它.已知树干横截面的周长为20 cm,A,B两点的距离为15 cm.若螳螂想吃掉在点B的小虫子,求螳螂绕行的最短路程.
17.(8分)如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F是AD上一点,且AF=AD,试证明△FEC是直角三角形.
18.(8分)如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图,王强同学测量出BC=1 m,NC= m,BN= m,AC=4.5 m,MC=6 m,求MA的长.
19.(8分·2025·营口盖州市质检)如图,一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上,这时底端B到墙角C的距离为3米.
(1)此时,这架梯子的顶端A距离地面多少米
(2)如果梯子的底端B向内移动1.6米,则顶端A沿墙向上移动多少米
20.(8分·2025·鞍山铁西区质检)如图,在一个长AB=7米,宽AD=6米的长方形草地上放着一根长方体木块,已知该木块的较长边和草地宽AD平行,横截面是边长为0.5米的正方形,一只蚂蚁从点A处,爬过木块到达C处需要走的最短路程是多少米
21.(10分)操作与探究
(1)图1是由5个边长为1的正方形组成的,把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形(内部的粗实线表示分割线),请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形,并在大正方形内部标注出五部分的序号;
(2)如图,如果设(1)中分割成的直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c.请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理.
22.(12分·2025·大连旅顺口区质检)如图,在Rt△ABC中,已知∠A=90°,D是斜边BC的中点,DE⊥BC交AB于点E,连接CE.
(1)试说明:BE2-AE2=AC2;
(2)若AC=6,BD=5,求△ACE的周长及AE的长.
23.(13分)如图,已知圆柱底面的周长为12,圆柱的高为20,在圆柱的侧面上,过点A,C嵌有一圈长度最短的金属丝.
(1)如图①,现将圆柱侧面沿AB剪开,所得的圆柱侧面展开图是________.
(2)如图②,若将金属丝从点B绕4圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少
(3)现有一个长、宽、高分别为8 dm,7 dm,4 dm的无盖长方体木箱(如图③,AB=8 dm,BC=7 dm,AE=4 dm).现在箱外的点A处有一只蜘蛛,箱内的点C处有一只小虫正在午睡,保持不动.请你为蜘蛛设计一种捕虫方案,使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫,并计算出此最短路程.(木板的厚度忽略不计)

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