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第五章　二元一次方程组
单元素养测评卷
120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列是二元一次方程的是 (C)
A.x-1=2x B.x= C.x-2y=0 D.x-y
2.用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是 (D)
A.①×2-② B.①+②×10
C.①×(-2)+② D.①-②×10
3.(2025·锦州凌河区质检)2台大收割机和6台小收割机同时工作2 h共收割水稻4 hm2,3台大收割机和4台小收割机同时工作5 h共收割水稻9 hm2,设1台大收割机和1台小收割机每小时收割水稻分别是x hm2、y hm2,则下列列式正确的是 (D)
A. B.
C. D.
4.某公司市场营销部的个人收入y(元)与其每月的销售量x(万件)成一次函数关系,其图象如图所示,营销人员没有销售量时最低收入是 (B)
A.1 000 B.2 000 C.3 000 D.4 000
5.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”,其原文是:甲乙隔沟牧放,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多乙一倍之上;乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半晌.这个题目的意思是:甲、乙两个牧人隔着山沟放羊,两人都在暗思对方有多少只羊,甲对乙说:“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”乙对甲说:“我若得你9只羊,我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊,乙有y只羊,根据题意列出二元一次方程组为 (B)
A. B.
C. D.
6.如图,已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P,点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组的解是 (A)
A. B. C. D.
7.(2025·营口西市区质检)已知二元一次方程组,则m+n的值是 (B)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
8.若关于x,y的二元一次方程组的解为,则被遮住的两个数○和□分别为 (C)
A.2,1 B.2,7 C.7,1 D.7,2
9.(2025·阜新太平区质检)已知关于x,y的方程组的解满足x+y=3,则k的值为 (C)
A.-8 B.2 C.8 D.-2
10.图1是一个玻璃密封容器,底部是圆柱体,上面是长方体,内装450 cm3的液体.当容器正放时,容器内液面的高度为8 cm(如图2);倒放时,容器内液面的高度为12 cm(如图3),则该玻璃密封容器底面的半径为(π取3) (A)
A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.若二元一次方程组的解为则a-b=　2　.
12.若方程组的解也是2x-ay=14的解,则a=　-4　.
13.若|m+2n-1|+(m-3n+4)2=0,则m+n的值为　0　.
14.某校举办篮球赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队在12场比赛中得20分.设该队胜x场,负y场,则根据题意,列出关于x,y的二元一次方程组为 　.
15.盲盒为消费市场注入了活力,既能够营造消费者购物过程中的趣味体验,也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个,搭配为A,B,C三种盲盒各一个,其中A盒中有2个蓝牙耳机,3个多接口优盘,1个迷你音箱;B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量,蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3∶2;C盒中有1个蓝牙耳机,3个多接口优盘,2个迷你音箱.经核算,A盒的成本为145元,B盒的成本为245元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和),则C盒的成本为　155　元.
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(10分)解下列方程组:
(1);　　　　(2).
【解析】(1)①+②,得4x=4,所以x=1.
将x=1代入①,得y=1.所以原方程组的解为.
(2)把①代入②,得2(4y+1)-5y=8,
解得y=2.把y=2代入①,得x=4×2+1=9.
所以原方程组的解为.
17.(8分)已知方程组与有相同的解,求a,b的值.
【解析】将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程组中的第一个方程联立,组成新的方程组.解这个方程组,得.
将代入第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组中的第二个方程,得-6a-45=4,-30-9b=1.
解得a=-,b=-.
18.(8分)亚冬会举办期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若只单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只单独调配22座新能源客车,则用车数量将增加5辆,并空出10个座位.
(1)计划调配36座新能源客车多少辆 该大学共有多少名志愿者 (用二元一次方程组解答)
(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则36座客车需要4辆,22座客车需要5辆.
【解析】(1)设计划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者,则需调配22座新能源客车(x+5)辆,
依题意,得,解得.
答:计划调配36座新能源客车7辆,该大学共有254名志愿者.
(2)设需调配36座客车m辆,22座客车n辆,
依题意,得36m+22n=254,所以n=.
又因为m,n均为正整数,所以.
需调配36座客车4辆,22座客车5辆.
19.(8分·2025·朝阳龙城区质检)某市出租车计费标准如下框,赵亮上周坐了两次出租车,一次里程8千米,车费25元,另一次里程30千米,车费87.5元.
(1)画示意图可以帮助我们厘清数量间的关系,请把下面的示意图补充完整;
(2)列方程组求解a,b.
【解析】(1)如图.
(2)根据题意列方程组得,,
解得.
20.(8分·2024·无锡中考)某校积极开展劳动教育,两次购买A,B两种型号的劳动用品,购买记录如表:
项目 A型劳动用品(件) B型劳动用品(件) 合计金额(元)
第一次 20 25 1 150
第二次 10 20 800
(1)求A,B两种型号劳动用品的单价;
(2)若该校计划再次购买A,B两种型号的劳动用品共40件,其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件.该校购买这40件劳动用品至少需要多少元 (备注:A,B两种型号劳动用品的单价保持不变)
【解析】(1)设A种型号劳动用品单价为x元,B种型号劳动用品单价为y元,,解得.
答:A种型号劳动用品单价为20元,B种型号劳动用品单价为30元.
(2)设购买A种型号劳动用品a件,则购买B种型号劳动用品(40-a)件,根据题意可得:10≤a≤25,
设购买这40件劳动用品需要W元,
W=20a+30(40-a)=-10a+1 200,
因为-10<0,所以W随a的增大而减小,
所以当a=25时,W取最小值,W=-10×25+1 200=950,
所以该校购买这40件劳动用品至少需要950元.
21.(8分)如图,直线y=x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B,与经过原点的直线相交于点C(-2,1).
(1)直接写出点B的坐标为(0,3);
(2)求出△OBC的面积;
(3)在直线BC上是否存在点M,使S△OBM=2S△COB 若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由直线AB:y=x+3可知:令x=0,则y=3,所以B(0,3);
(2)因为C(-2,1),所以点C与y轴的距离是2,
因为B(0,3),所以△OBC的面积为×3×2=3.
(3)存在;由(2)知△OBC的面积为3,
所以S△OBM=2×3=6,设M(x,x+3),
因为S△OBM=OB·|xM|=|xM|,
所以|xM|=6,所以|xM|=4,所以x=4或x=-4,
代入直线AB:y=x+3得,y=7或y=-1.
综上所述,M的坐标为(4,7)或(-4,-1).
22.(12分)【数学活动回顾】我们曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标(x的值为横坐标、y的值为纵坐标)的点的特性”,了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系.
规定:以方程x-y=0的解为坐标的所有点的全体叫作方程x-y=0的图象;
结论:一般地,任何一个二元一次方程的图象都是一条直线.
示例:如图1,我们在画方程x-y=0的图象时,可以取点A(-1,-1)和B(2,2),作出直线AB.
【解决问题】(1)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象(提示:依据“两点确定一条直线”,画出图象即可,无需写过程)
(2)观察图象,两条直线的交点坐标为(1,2),由此你得出这个二元一次方程组的解是_;
【拓展延伸】
(3)已知二元一次方程ax+by=6的图象经过两点A(-1,3)和B(2,0),试求a,b的值.
【解析】(1)如图,
(2)观察图象,两条直线的交点坐标为(1,2),由此得出这个二元一次方程组的解是.
(3)根据题意得,解得.
23.(13分·新中考·阅读理解)阅读材料,回答以下问题:
我们知道,二元一次方程有无数个解.在平面直角坐标系中,我们标出以这个方程的解为坐标的点,就会发现这些点在同一条直线上.
例如:是方程x-y=-1的一个解,对应点M(1,2).如图所示,我们在平面直角坐标系中将其标出,另外方程的解还对应点(2,3),(3,4)……将这些点连起来正是一条直线,反过来,在这条直线上任取一点,这个点的坐标也是方程x-y=-1的解,所以我们就把这条直线叫做方程x-y=-1的图象.
一般地,任意二元一次方程解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象.请问:
(1)已知A(1,1),B(-3,4),C(,2),则点C (填“A”“B”或“C”)在方程2x-y=-1的图象上.
(2)求方程2x+3y=9和方程3x-4y=5图象的交点坐标.
(3)已知以关于x,y的方程组的解为坐标的点在方程x+y=5的图象上,当t>m时,化简-|1-7t|.
【解析】(1)如图观察图象可知,点C在方程2x-y=-1的图象上,
(2)由,解得,
所以方程2x+3y=9和方程3x-4y=5图象的交点坐标为(3,1).
(3)由,解得,
因为x+y=5,所以+=5,所以m=,
当t>时,-|1-7t|=t+2+1-7t=3-6t.第五章　二元一次方程组
单元素养测评卷
120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列是二元一次方程的是 ( )
A.x-1=2x B.x= C.x-2y=0 D.x-y
2.用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是 ( )
A.①×2-② B.①+②×10
C.①×(-2)+② D.①-②×10
3.(2025·锦州凌河区质检)2台大收割机和6台小收割机同时工作2 h共收割水稻4 hm2,3台大收割机和4台小收割机同时工作5 h共收割水稻9 hm2,设1台大收割机和1台小收割机每小时收割水稻分别是x hm2、y hm2,则下列列式正确的是 ( )
A. B.
C. D.
4.某公司市场营销部的个人收入y(元)与其每月的销售量x(万件)成一次函数关系,其图象如图所示,营销人员没有销售量时最低收入是 ( )
A.1 000 B.2 000 C.3 000 D.4 000
5.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”,其原文是:甲乙隔沟牧放,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多乙一倍之上;乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半晌.这个题目的意思是:甲、乙两个牧人隔着山沟放羊,两人都在暗思对方有多少只羊,甲对乙说:“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”乙对甲说:“我若得你9只羊,我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊,乙有y只羊,根据题意列出二元一次方程组为 ( )
A. B.
C. D.
6.如图,已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P,点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组的解是 ( )
A. B. C. D.
7.(2025·营口西市区质检)已知二元一次方程组,则m+n的值是 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
8.若关于x,y的二元一次方程组的解为,则被遮住的两个数○和□分别为 ( )
A.2,1 B.2,7 C.7,1 D.7,2
9.(2025·阜新太平区质检)已知关于x,y的方程组的解满足x+y=3,则k的值为 ( )
A.-8 B.2 C.8 D.-2
10.图1是一个玻璃密封容器,底部是圆柱体,上面是长方体,内装450 cm3的液体.当容器正放时,容器内液面的高度为8 cm(如图2);倒放时,容器内液面的高度为12 cm(如图3),则该玻璃密封容器底面的半径为(π取3) ( )
A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.若二元一次方程组的解为则a-b= .
12.若方程组的解也是2x-ay=14的解,则a= .
13.若|m+2n-1|+(m-3n+4)2=0,则m+n的值为 .
14.某校举办篮球赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队在12场比赛中得20分.设该队胜x场,负y场,则根据题意,列出关于x,y的二元一次方程组为 .
15.盲盒为消费市场注入了活力,既能够营造消费者购物过程中的趣味体验,也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个,搭配为A,B,C三种盲盒各一个,其中A盒中有2个蓝牙耳机,3个多接口优盘,1个迷你音箱;B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量,蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3∶2;C盒中有1个蓝牙耳机,3个多接口优盘,2个迷你音箱.经核算,A盒的成本为145元,B盒的成本为245元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和),则C盒的成本为 元.
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(10分)解下列方程组:
(1);　　　　(2).
17.(8分)已知方程组与有相同的解,求a,b的值.
18.(8分)亚冬会举办期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若只单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只单独调配22座新能源客车,则用车数量将增加5辆,并空出10个座位.
(1)计划调配36座新能源客车多少辆 该大学共有多少名志愿者 (用二元一次方程组解答)
(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则36座客车需要 辆,22座客车需要 辆.
19.(8分·2025·朝阳龙城区质检)某市出租车计费标准如下框,赵亮上周坐了两次出租车,一次里程8千米,车费25元,另一次里程30千米,车费87.5元.
(1)画示意图可以帮助我们厘清数量间的关系,请把下面的示意图补充完整;
(2)列方程组求解a,b.
20.(8分·2024·无锡中考)某校积极开展劳动教育,两次购买A,B两种型号的劳动用品,购买记录如表:
项目 A型劳动用品(件) B型劳动用品(件) 合计金额(元)
第一次 20 25 1 150
第二次 10 20 800
(1)求A,B两种型号劳动用品的单价;
(2)若该校计划再次购买A,B两种型号的劳动用品共40件,其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件.该校购买这40件劳动用品至少需要多少元 (备注:A,B两种型号劳动用品的单价保持不变)
21.(8分)如图,直线y=x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B,与经过原点的直线相交于点C(-2,1).
(1)直接写出点B的坐标为 ;
(2)求出△OBC的面积;
(3)在直线BC上是否存在点M,使S△OBM=2S△COB 若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
22.(12分)【数学活动回顾】我们曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标(x的值为横坐标、y的值为纵坐标)的点的特性”,了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系.
规定:以方程x-y=0的解为坐标的所有点的全体叫作方程x-y=0的图象;
结论:一般地,任何一个二元一次方程的图象都是一条直线.
示例:如图1,我们在画方程x-y=0的图象时,可以取点A(-1,-1)和B(2,2),作出直线AB.
【解决问题】(1)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象(提示:依据“两点确定一条直线”,画出图象即可,无需写过程)
(2)观察图象,两条直线的交点坐标为 ,由此你得出这个二元一次方程组的解是 _;
【拓展延伸】
(3)已知二元一次方程ax+by=6的图象经过两点A(-1,3)和B(2,0),试求a,b的值.
23.(13分·新中考·阅读理解)阅读材料,回答以下问题:
我们知道,二元一次方程有无数个解.在平面直角坐标系中,我们标出以这个方程的解为坐标的点,就会发现这些点在同一条直线上.
例如:是方程x-y=-1的一个解,对应点M(1,2).如图所示,我们在平面直角坐标系中将其标出,另外方程的解还对应点(2,3),(3,4)……将这些点连起来正是一条直线,反过来,在这条直线上任取一点,这个点的坐标也是方程x-y=-1的解,所以我们就把这条直线叫做方程x-y=-1的图象.
一般地,任意二元一次方程解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象.请问:
(1)已知A(1,1),B(-3,4),C(,2),则点 (填“A”“B”或“C”)在方程2x-y=-1的图象上.
(2)求方程2x+3y=9和方程3x-4y=5图象的交点坐标.
(3)已知以关于x,y的方程组的解为坐标的点在方程x+y=5的图象上,当t>m时,化简-|1-7t|.

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