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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
（第5课时）
1．理解“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”的判定方法；
2．能区分HL与一般三角形全等判定的差异；
3．运用HL证明直角三角形全等，并解决线段或角相等问题．
说一说：我们都学过哪些方法证明两个三角形全等呢？
1．两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等．
（简写 “边角边”或 “________”）．
2．两角和它们的________分别相等的两个三角形全等．
（简写 “角边角”或 “________”）．
3．两角分别________且其中一组等角的________相等的两个三角形全等． （简写 “角角边”或 “________”）．
4．三边分别_______的两个三角形全等（简写 “边边边”或 “________”）．
夹角
SAS
夹边
ASA
相等
对边
AAS
相等
SSS
前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形．因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了．如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
探究：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′＝∠C＝90°，A′B′＝AB，B′C′＝BC．这两个三角形全等吗？
如图所示，由∠C′＝∠C＝90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A′与射线CA重合，那么射线C′B′与射线CB重合．再由B′C′＝BC，可知点B′与点B重合．
为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系．
设点M在直角边AC（不包括端点）上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角．若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，则有AB＞BM′＞BM．设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB．因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个．再由点A′在射线CA上，A′B′＝AB，可知点A′与点A重合．这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′≌△ABC．
在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法．
符号语言:
在Rt△ABC 与 Rt △ A′B′C′中，
∴Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ (HL)
一般地，有如下判定直角三角形全等的方法：
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
例：如图所示，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD．
分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC＝AD．由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件．
例：如图所示，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
∴BC＝AD．
　　你能根据例题的解题过程，总结出利用“HL” 证明三角形全等需要注意什么吗？　
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
∴BC＝AD．
（1）两个三角形必须都是直角三角形
（2）带“Rt△”，且大括号中含两个条件
（3）结论带“Rt△”
　　直角三角形全等的判定方法
（1）用“HL”：当两个三角形是直角三角形时，首先考虑“HL”；
（2）可以作为一般三角形，用“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”进行判定．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，是内一点，且点到的距离相等，则直接得到的依据是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
3．已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证：
(1)；
(2)．
证明：（1）∵为的高，
∴．
在和中，
，
∴．
【知识技能类练习】必做题：
3．已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证：
(1)；
(2)．
（2）∵，
∴，即．
∵在中，，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ．
6
【综合拓展类练习】
5．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？
解：根据三角形全等的判定方法可知：
当运动到时，
∵在与中，
，
∴，
【综合拓展类练习】
5．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？
当与点重合时，，
∵在与中，
，
∴，
答：当运动到或点与重合时，才能和全等．
对任意三角形均成立
仅适用于直角三角形
“边边边”或“SSS”
“边角边”或“SAS”
“角边角”或“ASA”
“角角边”或“AAS”
“斜边、直角边”或“HL”
三角形全等的判定
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，P是内的一点，，垂足分别为E，F，．求证：(1)；(2)平分．
证明：（1）∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，∴平分．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则 ．
7
【综合拓展类作业】
5．如图，已知平分，于E，于F，且．(1)求证：；
(2)若，，求的长．
证明：（1）∵平分于点于点，
，
∴和是直角三角形，
在和中，，
．
【综合拓展类作业】
5．如图，已知平分，于E，于F，且．(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（2）∵于点于点，
∴和是直角三角形，
在和中，，
，，
由（1）知，，
，
∵，
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分课时教学设计
第六课时《14.2三角形全等的判定（第5课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是三角形全等判定的第5课时，主要内容是直角三角形全等的特殊判定方法“斜边、直角边（HL）”。教材先明确此前所学的SSS、SAS、ASA、AAS等全等判定方法对直角三角形同样适用，再基于直角三角形“直角相等”的隐含条件，通过“探究5”推导得出HL判定定理——斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，并通过例6及课后练习，引导学生运用HL解决线段相等的证明问题。本节课是对一般三角形全等判定的延伸与补充，既完善了三角形全等判定的知识体系，又为后续解决直角三角形相关几何问题（如线段垂直平分线、角平分线性质应用等）提供了关键工具，具有“承上启下”的作用。
学习者分析 学生已掌握了SSS、SAS、ASA、AAS等一般三角形全等的判定方法，能运用这些方法证明非直角三角形的全等，同时，知道直角三角形的定义及“两直角互余”等基本性质，知晓直角三角形存在“一个角为90°”的隐含相等条件，这为本节课的探究做好了知识上的准备。 在本课的学习中学生可能存在的认知难点：一是容易混淆HL与一般三角形判定方法的适用范围，难以理解“SSA在一般三角形中不成立，却在直角三角形中可转化为HL成立”的逻辑；二是运用HL证明时，可能忽略“直角三角形”的前提条件，或在找“斜边”与“对应直角边”时出现对应关系错误；三是对HL定理的推导过程，可能因抽象思维不足而理解不透彻。
教学目标 1．理解“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”的判定方法； 2．能区分HL与一般三角形全等判定的差异； 3．运用HL证明直角三角形全等，并解决线段或角相等问题．
教学重点 理解“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”，并能运用其证明直角三角形全等及解决线段相等问题．
教学难点 明确HL的适用范围，区分其与一般三角形全等判定方法的差异．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”的判定方法； 2．能区分HL与一般三角形全等判定的差异； 3．运用HL证明直角三角形全等，并解决线段或角相等问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说判定两个三角形全等的方法： 1．两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等．（简写 “边角边”或 “________”）． 答案：夹角，SAS 2．两角和它们的________分别相等的两个三角形全等．（简写 “角边角”或 “________”）． 答案：夹边，ASA 3．两角分别________且其中一组等角的________相等的两个三角形全等．（简写 “角角边”或 “________”）． 答案：相等，对边，AAS 4．三边分别_______的两个三角形全等（简写 “边边边”或 “________”）． 答案：相等，SSS 导语：利用三角形全等的判定方法，我们再来研究一些尺规作图问题． 导言：前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形．因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了．如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习全等三角形判定方法，为探究直角三角形全等的判定方法做好准备。环节三：新知讲解教师活动3： 探究：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′＝∠C＝90°，A′B′＝AB，B′C′＝BC．这两个三角形全等吗？ 演示讲解：如图所示，由∠C′＝∠C＝90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A′与射线CA重合，那么射线C′B′与射线CB重合．再由B′C′＝BC，可知点B′与点B重合． 为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系． 设点M在直角边AC（不包括端点）上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角．若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，则有AB＞BM′＞BM．设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB．因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个．再由点A′在射线CA上，A′B′＝AB，可知点A′与点A重合．这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′≌△ABC． 指出：在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法. 归纳：一般地，有如下判定直角三角形全等的方法： 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 符号语言: 在Rt△ABC 与 Rt △ A′B′C′中， ∴Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ (HL) 例：如图所示，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD． 分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC＝AD．由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件． 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． ∴BC＝AD． 提问：你能根据例题的解题过程，总结出利用“HL” 证明三角形全等需要注意什么吗？ 预设：（1）两个三角形必须都是直角三角形 （2）带“Rt△”，且大括号中含两个条件 （3）结论带“Rt△” 归纳：直角三角形全等的判定方法 （1）用“HL”：当两个三角形是直角三角形时，首先考虑“HL”； （2）可以作为一般三角形，用“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”进行判定．学生活动3： 学生认真听讲并动手操作，然后小组合作探究，归纳并互相补充直角三角形的判定方法活动意图说明： 通过动手操作、推理探究直角三角形的全等的判定方法——HL，然后通过例题加强对直角三角形全等判定的应用，提高学生综合运用知识的能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：14.2三角形全等的判定（第5课时）一、判定任意三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS 二、仅适用由判定直角三角形全等的方法：HL教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，是内一点，且点到的距离相等，则直接得到的依据是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． 证明：（1）∵为的高， ∴． 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，即． ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 选做题： 4．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ． 答案：6 【综合拓展类练习】 5．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 解：根据三角形全等的判定方法可知： 当运动到时， ∵在与中， ， ∴， 当与点重合时，， ∵在与中， ， ∴， 答：当运动到或点与重合时，才能和全等．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．如图，P是内的一点，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)平分． 证明：（1）∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴平分． 选做题： 4．如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则 ． 答案：7 【综合拓展类练习】 5．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 证明：（1）∵平分于点于点， ， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ． （2）∵于点于点， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， ∵， ．
教学反思 本节课教学中，通过教材中“探究”的图形重合操作与推理，多数学生能理解HL定理的由来，但仍有部分学生对“射线CA上与B连线等于AB的点唯一”的逻辑存在模糊认知，后续可借助几何画板动态演示，直观呈现点的位置变化与线段长度的关系，强化理解。在例题讲解环节，虽强调了“先明确直角三角形，再找斜边与直角边对应相等”，但练习中仍有学生未标注直角符号，或混淆斜边与直角边的对应关系，说明对HL的应用规范需进一步强化。此外，对比HL与一般三角形判定方法的环节，仅通过口头讲解，学生印象较浅，下次教学可设计表格，清晰罗列各判定方法的适用三角形类型、条件及注意事项，帮助学生精准区分。整体而言，学生能基本达成“运用HL解决简单问题”的目标，但在逻辑严谨性和方法辨析上仍需通过针对性练习巩固。
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同步探究学案
课题 14.2 三角形全等的判定（第5课时） 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”的判定方法； 2．能区分HL与一般三角形全等判定的差异； 3．运用HL证明直角三角形全等，并解决线段或角相等问题．
重点 理解“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”，并能运用其证明直角三角形全等及解决线段相等问题．
难点 明确HL的适用范围，区分其与一般三角形全等判定方法的差异．
探究过程
导入新课 【引入思考】 说一说：我们都学过哪些方法证明两个三角形全等呢？ 1．两边和它们的_________分别相等的两个三角形全等．（简写 “边角边”或 “________”）． 2．两角和它们的________分别相等的两个三角形全等．（简写 “角边角”或 “________”）． 3．两角分别________且其中一组等角的________相等的两个三角形全等．（简写 “角角边”或 “________”）． 4．三边分别_______的两个三角形全等（简写 “边边边”或 “________”）．
新知探究 本节课来研究： 本节课研究直角三角形全等的判定． 探究：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′＝∠C＝90°，A′B′＝AB，B′C′＝BC．这两个三角形全等吗？ 归纳：一般地，有如下判定直角三角形全等的方法： 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 符号语言: 在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC ≌________ (HL) 例：如图所示，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证BC＝AD． 归纳：直角三角形全等的判定方法 （1）用“HL”：当两个三角形是直角三角形时，首先考虑“____”； （2）可以作为一般三角形，用“SSS”“______”“_______”或“______”进行判定．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，是内一点，且点到的距离相等，则直接得到的依据是（ ） A． B． C． D． 2．综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ） A． B． C． D． 3．已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． 选做题： 4．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ． 【综合拓展类练习】 5．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ） A． B． C． D． 2．如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ） A． B． C． D． 3．如图，P是内的一点，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)平分． 选做题： 4．如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则 ． 【综合拓展类练习】 5．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长．
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