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广西钦州市第十三中学2025-2026学年上学期高三年级第七周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过 2.98元
超过但不超过的部分 3.60元
超过的部分 4.50元
若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ）
A． B． C． D．
3．关于函数，有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间单调递增；③在有3个零点； ④的最大值为2．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．已知，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
5．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（ ）
A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时
6．设函数，则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
7．定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知函数， 则（ ）
A．B．有一个零点C．y轴是曲线的切线 D．在(1，+∞)上单调递增
10．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象过点，则 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为
D．函数的单调增区间为
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增
C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是 ．
13．已知函数，若存在，且，则的取值范围 .
14．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 %.
四、解答题（共5小题，共77分）
15．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．
16．已知函数
(1)求函数 在处的切线方程;
(2)求函数的单调性区间
(3)若函数有2个零点，求a的取值范围.(只写出结论不需要说明理由)
17．函数满足对任意，都有，且的图象关于直线x=1对称，当时，， 且函数恰有2025个零点.
(1)证明：函数为周期函数；
(2)求整数a的值.
18．设．
(1)若，求的取值范围；
(2)设函数是定义域为的偶函数，当时，．若关于的方程（常数）在上有实数解，求实数的取值范围．
19．对于定义域为的周期函数，若它同时满足以下三个条件：①存在最小正周期；②值域为；③存在，使得在上为严格减函数，在上为严格增函数；则称函数为“类余弦函数”．设函数是类余弦函数．
(1)若是偶函数，求该函数的最小正周期；
(2)若对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解，求证：函数在区间上的值域为；
(3)设（常数），的最小正周期为4，求实数的值；进而，若关于的方程（常数）在上恰有3个实数解，求实数的值（无需说明理由）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B A B C ABD AC
题号 11
答案 AC
12．由题意可得，
原方程可化为：，
即，令，
如要函数在有两个零点，则需：，解得，，
故答案为：.
13．由题意，时，，值域为，
时，，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
时，取得最大值，且时，，
时，的值域为.
若存在，且，设，则，
且，即，
，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
所以，的取值范围是.
故答案为：.
14．设第二、三天销售量的平均增长率为,
则,
得,
得(舍去负根),
得.
故答案为:25
15．（1）
，
又的最小正周期为，，则，所以.
（2）由（1）知，所以，
由时，得到，所以或
即或，
因为在区间上有且仅有3个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；
所以，
故的取值范围是.
16．、（1）因为，
所以切线斜率为，
又因为，
所以切线方程为，即；
（2）因为，
所以当单调递减；
当单调递增；
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为；
（3）因为函数有2个零点，所以有两个解，即得有两个交点，
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增
所以，
又因为时，时 ，
且；，
所以当时有两个解，
即函数有2个零点时.
17．、（1）由的图象关于直线对称，得到，
又，所以，
即，从而得到函数的周期为，
所以函数为周期函数.
（2）由可知，函数关于对称，
根据对称性、周期性及当时，，
当和时，函数图象相同，作出两函数图象（如图所示），
要使函数恰有2025个零点，
则函数的图象与图象在上恰有2025个交点，
由图象可知，第个交点为，
所以，
又，
所以由得，，
故或.
所以整数的值为45.
18．、（1）由可解得，所以函数的定义域为.
则有，解得，
，
原不等式可变形为，即，
解不等式，即，，解得；
解不等式，即，，解得或，
故解得，
综上，的取值范围是.
（2）由题意，当时，，
当时，，，
时，，
则方程即，即在上有实数解，
当时，方程显然不成立；
当时，，
令，则，，所以，
故实数的取值范围是.
19．、（1）因为函数是类余弦函数，所以得在上为严格减函数，在上为严格增函数，
又因为是偶函数，所以在上为严格增函数，在上为严格减函数，
则根据周期的定义可得：该函数的最小正周期；
（2）因为函数是类余弦函数，所以得在上为严格减函数，在上为严格增函数，
又因为值域为，周期为，
所以，，
因为对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解，
结合，以及单调性可得在和各有1解，
所以函数在区间上的值域为，
所以函数在区间上的值域为；
（3）由题意，，
所以，
又因为在上为严格增函数，
结合余弦函数性质可得，
所以,
若，如左图，在上恰有3个实数解，
若，如右图，在上恰有3个实数解，
由于，且，
所以的值为3或4或7.

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