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12.1.2 定义、定理与证明
1.理解定义、基本事实、定理等概念.（重点）
2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点）
观察以下语句的特点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点.
由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角.
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
我们在学习一些新的数学名词时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的语句叫做这些名词的定义.
定义就像标签，把事物与事物区别开.
一个数学名词的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
你能再举出一些学过的定义的例子吗？
（1）两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.
（2）两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
（3）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.
（4）从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.
（5）含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的下列哪些命题是真命题﹖
1.两点确定一条直线;
2.两点之间，线段最短;
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
通过七年级的学习,我们已经知道以上各命题都是正确的,即都是公认的真命题；
命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假,怎么办呢
这就需要我们用推理的方法来加以判断.
基本事实：
数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理.
例如下列的真命题作为基本事实：
1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
1.是真命题；
2.是实践中总结的；
3.是判断其他命题真假 的依据
定理的概念
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
比如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条基本事实的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据.
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
证明其他命题正确的依据
(1)一位同学在钻研数学题时发现:
2 + 1=3,
2 × 3 + 1 =7,
2 × 3 × 5 + 1 =31,
2 × 3 × 5 × 7 + l = 211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数.
他的结论正确吗？
计算一下2×3×5×7×11＋1
与2×3×5×7×11×13＋1，
你发现了什么？
(2)如图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.
他的结论正确吗？
画一个钝角三角形试试看.
钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，所以这位同学的说法不正确.
(3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面的几个例子说明了什么问题？
通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.
证明的概念：
根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
证明定理：直角三角形的两个锐角互余.
例1 已知：如图,在△ABC 中，∠C=90°.
　　　求证：∠A＋∠B＝90°.
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.
A
B
C
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形的内角和等于180°)，
又∵∠C＝90°(已知)，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°(等式的性质).
1．下列真命题能作为基本事实的是(　　)
A．对顶角相等
B．三角形的内角和是180°
C．在同一平面没，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．内错角相等，两直线平行
C
2．“经过两点有且只有一条直线”是(　　)
A．基本事实 B．假命题
C．定义 D．以上都不是
A
3．下列命题不是基本事实的是(　　)
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
C
4．下列说法中，错误的是(　　)
A．所有的基本事实都是命题 B．所有的定理都是命题
C．所有的基本事实都是定理
C
5．命题“直角三角形中的两个锐角互余”是(　　)
A．角的定义 B．假命题 C．基本事实 D．定理
D
6．下列说法错误的是(　　)
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理
C
定义
定义、定理与证明
概念
基本事实、定理
证明
步骤：(1)根据题意作出图形.
(2)写出已知和求证.
(3)写出证明的过程

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