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12.3.1 第2课时
等腰三角形的性质（2）
1.学习运用等腰三角形的性质证明线段垂直平分线的过程及直线的垂线的探索过程.（重点）
2.理解并掌握等边三角形的性质.（重点）
3.能初步运用等边三角形的性质解决有关问题.（难点）
性质1：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．
等腰三角形有哪些性质？
性质2：等腰三角形的三线合一.
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合.
如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗？
例1 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.
证明:如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB.
在△APQ和△BPQ中，
∵AP=BP,AQ=BQ,PQ=PQ,
∴△APQ≌△BPQ(SSS).
∴∠APQ=∠BPQ（全等三角形的对应角相等）.
又∵AP=BP,
∴AO=BO且PQ⊥AB（等腰三角形的三线合一）.
因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.
如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP，当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗？
P
点C在直线AB上
点C在直线AB外
比较垂线的作法示意图与垂直平分线的作法示意图，我们可以发现两者十分类似，过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线，那么类似于垂直平分线的证明，自然就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线.
点C在直线AB外
试写出整个证明过程.
显然，AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到
∠B＝∠C，
同理可得∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝∠C.
而∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠A＝∠B＝∠C＝????????????°????=60°.
?
A
C
B
三条边都相等的三角形是等边三角形，如图，在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？
等边三角形有“三线合一”的性质吗?
等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴?
A
B
C
A
B
C
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
等边三角形有三条对称轴.
例2 如图，已知△????????????是等边三角形，???????? 是中
线，延长????????到点????，使????????=???????? .????????=10，求???????? 的长.
?
解：∵△????????????是等边三角形，????????是中线，????????=10 ，
?
∴????????=????????=????????=10，
????????=????????=12????????=5 .
?
∵????????=????????，∴????????=5 .
?
∴????????=????????+????????=15 .
?
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，过点O
作DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
A
C
B
D
E
O
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
D
B
3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作
图的痕迹，可知∠BCG的度数为(　　)
A．40° B．45°
C．50° D．60°
C 　
4. 如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，
已知△ABC的周长为18 cm,EC =2 cm,则
△ADE的周长是 cm.
A
C
B
D
E
12
5.如图，已知????，????分别是等边三角形????????????的两边????????，???????? 上的
点，且????????=????????，????????与????????交于点???? .
（1）求证：????????=???????? ；
?
(1)证明：∵△???????????? 为等边三角形，
∴????????=????????，∠????=∠????????????=60? .
在△????????????和△???????????? 中，
∵AD=CE,∠A=∠ECB,AC=CB,
?
∴△????????????≌△????????????SAS .
∴????????=???????? .
?
（2）求∠???????????? 的度数.
?
解：∵△????????????≌△???????????? ，
∴∠????????????=∠???????????? .
∴∠????????????=∠????????????=∠????????????+∠????????????
=∠????????????+∠????????????=∠????????????=60? .
?
等腰三角
形的性质
等边
三角形
有三条对称轴，每个内角等于60°

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