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(共20张PPT)
12.4.2 线段垂直平分线
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.（重点）
2.会运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决有关问题.（难点）
1.互逆命题/原命题/逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
2.互逆定理/逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？
M
N
P
A
C
B
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
你能给出PA=PB的证明吗？
A
B
M
N
P
A
C
B
已知：如图，MN丄AB，垂足为点C，AC =BC，点P是直线MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
证明：∵MN ⊥AB,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).
在△ACP和△BCP中,
∵AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC,
∴△ACP≌△BCP(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
M
N
P
A
C
B
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上
（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
例1 如图，在△ABC 中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8 cm，求线段AC的长.
解：∵DE为BC的垂直平分线，
∴CD＝BD.
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD
＝AC＋AD＋BD
＝AC＋AB＝8 cm.
∵AB=5 cm，
∴AC=3 cm.
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：
思路1：作垂线，证中点；
思路2：作中线，证垂直．
证明：如图，过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
∵QA=QB，QC⊥AB，
∴AC=BC（等腰三角形的三线合一）.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能写出后一种添加辅助线的证明过程吗？
应用格式：
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
上述两条定理互为逆定理.
解：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
又∵MB＝MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
A
B
C
D
M
例2 如图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，
你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这个结论呢
点拨：要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只要证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线n上
证明：如图，连结PA、PB、PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC（线段垂直平分线
上的点到线段两端的距离相等）.
∴PB=PC.
∴点P在BC的垂直平分线上(到线段两端
距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
P
l
n
m
1．关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．
其中正确的说法有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B
2．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)
A．AB＝AD　 B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD　 D．△BEC≌△DEC
C
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(　　)
A．30° B．45° C．50° D．75°
B
4.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　)
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
D
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：CF＝AD；
(1)证明:∵AD∥BC，∴∠ECF＝∠EDA.
∵E为CD的中点，∴CE＝DE.
在△FEC与△AED中，
∵∠FEC＝∠AED，
CE＝DE，
∠ECF＝∠EDA，
∴△FEC≌△AED(ASA)．∴CF＝AD.
(2)若AD＝2，AB＝8，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？
解：当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上．
理由：∵BC＝6，AD＝2，CF＝AD，
∴BF＝BC＋CF＝8.
∵AB＝8，
∴AB＝BF.
∴点B在线段AF的垂直平分线上．
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
互逆定理

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