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(共20张PPT)
12.4.3 角平分线
1.会叙述角平分线的性质定理和它的逆定理;（重点）
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和
掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性
质解决一些简单的实际问题;（难点）
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理
证明意识和能力．
如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？请进行表达，并简述你的证明过程.
对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.
思考 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
已知:如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，
PD⊥OA，PE⊥OB, 垂足分别为点D和点E.
求证：PD=PE.
D
P
A
C
B
E
O
下面我们来证明刚才得到的结论：
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD=PE.
请写出完整的证明过程？
D
P
A
C
B
E
O
证明:∵OC平分∠AOB, P是OC上一点，
∴∠DOP=∠EOP.
∵PD⊥OA,PE⊥OB ，
∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△OPD和△OPE中，
∵∠ODP=∠OEP ,∠DOP=∠EOP ,OP=OP,
∴△OPD≌△OPE(AAS).
∴PD＝PE.
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD=PE.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
由上面的证明，我们得到角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等．
例1 如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为点M，N.
求证：PM=PN.
证明：∵OD平分∠EOF，
∴∠BOD=∠AOD.
在△BOD和△AOD中，
∵OB=OA，∠BOD=∠AOD，OD=OD，
∴△BOD≌△AOD（SAS）.
∴∠BDO=∠ADO，即DO平分∠BDA.
又∵P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN.
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出该性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
分析：只需证明∠AOP和∠BOP所在的Rt△PDO和Rt△PEO全等.
B
A
D
O
P
E
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是点D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：如图，过点O、P作射线OP.
∵PD⊥OA,PE⊥OB ，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵OP＝OP，PD＝PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),
∴∠DOP＝∠EOP(全等三角形的对应角相等).
∴点P在∠AOB的平分线上.
B
A
D
O
P
E
定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
D
P
A
C
B
E
O
上述两条定理互为逆定理.
例2 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠BDE＝∠CDF，∠DEB＝∠DFC，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
思考1 画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？
点拨：要证明三角形的的三条角平分线交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.其思路可表示如下：
AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PF⊥AC
BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PE⊥BC
PD=PF
PD=PE
PF=PE
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
D
F
思考2 你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？
E
P
PF⊥AC，PE⊥BC
H
证明：如图，不妨假设AH、BM交于点P，过点P作PD⊥AB，
PE⊥BC，PF⊥AC,垂足分别为点D、E、F.
N
M
A
B
C
P
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN、AH.
求证：BM，CN、AH交于点P.
∵AH平分∠BAC，∴PD=PF.
∵BM平分∠ABC，∴PD=PE.
∴PE=PF.
∴点P在∠ACB的平分线上，
即CP就是∠ACB的平分线.
∴BM、CN、AH交于点P.
E
D
F
☆内心是三角形内切圆的圆心
1.三角形三条角平分线的交点
2.性质：到三角形三边的距离相等，等于内切圆的半径.
☆外心是三角形外接圆的圆心
1.三角形三边垂直平分线的交点
2.性质：到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径.
2.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，
若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)
A．2 B．3
C. D．4
1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是(　　)
A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
B
A
3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为点D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(　　)
A．∠1＝∠2 B．∠1∠2
C．∠1∠2 D．无法确定
A
4．到△ABC的三条边距离相等的点可以是△ABC的(　　)
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．以上均不对
B
5.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F分别是垂足．
求证：点O在∠BAC的平分线上．
证明：∵点O在∠ABC的平分线上，
OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD＝OE.
同理，OE＝OF.
∴OD＝OF.
∴点O在∠BAC的平分线上．
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ.
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，BQ就是∠ABC的平分线．
证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠BPD＋∠PBD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.
∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP.
∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP.
∴AP＝AQ.
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线
逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
三角形三条角平分线交于内部一点

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