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7．2.1　三角函数的定义
【课程标准】　借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
教 材 要 点
知识点一　任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上除原点外任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝ >0)．
三角函数 定义 定义域 名称
sin α ______ 正弦
cos α ______ ______ 余弦
tan α ____________ 正切
知识点二　三角函数在各象限的符号
正弦、余弦、正切在各象限的符号
(1)当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α>0；
当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α<0；
(2)当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cos α>0；
当且仅当α的终边在第二、三象限，或y轴负半轴上时，cos α<0；
(3)当且仅当α的终边在第一、三象限，tan α>0；
当且仅当α的终边在第二、四象限，tan α<0.
上述结果可用下图直观表示．
【学霸笔记】　
1．根据三角函数定义值：正弦值的符号取决于纵坐标y的符号；余弦值的符号取决于横坐标x的符号；正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
2．记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
基 础 自 测
1．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则＝(　　)
A．－ B．1
C．2 D．3
2．已知sin α>0，cos α<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．已知角α的终边经过点P(x，2)，且cos α＝－，则x＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
4．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角．
5．已知点P(－2，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．
题型1任意角三角函数的定义及应用
例1(1)若角α的终边经过点P(－1，－)，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C．－1 D．－
(2)已知角α的终边经过点P(x，－3)，且tan α＝－，则cos α＋sin α＝(　　)
A． B．±
C． D．－
(3)已知角α的终边上有一点P(3a，4a)，其中a<0，则sin α＝(　　)
A．4a B．
C． D．－
总结　(1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．
(2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．
总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
跟踪训练1　(1)(多选)已知角α的终边经过点P(sin 120°，tan 120°)，则(　　)
A．cos α＝ B．sin α＝
C．tan α＝－2 D．sin α＋cos α＝－
(2)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
题型2三角函数符号的判断
例2(1)判断下列各式的符号．
①sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
②tan 191°－cos 191°；
③sin 2cos 3tan 4.
先确定角所在象限，再进一步确定各式的符号．
(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
总结
由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．跟踪训练2　(1)(多选)若＝－1，则x可能在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多选)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α>0 B．sin 2α<0
C．tan <0 D．cos <0
题型3三角函数的定义域
【思考探究】　1.正切函数tan α的定义域为何不是R
[提示]　根据正切函数的定义tan α＝，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋(k∈Z)时，x＝0，正切函数无意义，故正切函数的定义域为{α|α≠kπ＋，k∈Z}．
2．怎样解决与三角函数有关的定义域问题？
[提示]　解决与三角函数有关的定义域问题要注意以下几种情况：
(1)分母不为零；(2)偶次根号下大于等于零；(3)在真数位置时大于零；(4)在底数位置时大于零且不等于1.
例3求下列函数的定义域：
(1)y＝.
(2)y＝.
总结　(1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0；
(2)由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集．
总结
求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意求解结果应用区间或集合表示．
跟踪训练3　(1)求函数y＝的定义域．
(2)当α为第二象限角时，＝(　　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
教材反思
1．对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
(3)正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
2．巧记三角函数值符号
为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．
3．对三角函数定义的三点说明
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小只与角有关，而与点P(x，y)的位置无关．
易错点　忽略了三角函数的定义中r是点P到原点的距离，所以要加绝对值．
例　已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________．
【错解】　r＝5a，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝＝1.
【正解】　因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＝－1.
【易错点】
错误原因 纠错心得
忽略了r是点P到原点的距离，所以要加绝对值． 三角函数是用点的坐标和点到原点的距离比值来定义的，结果只与坐标有关．
能 力 提 升 练
1.(多选)已知点P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限内，则在[0，2π]内θ的取值范围是(　　)
A．(π，) B．()
C．() D．()
2.如图，质点M在单位圆圆周上逆时针运动，其初始位置为M0(，－)，角速度为2，则点M到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)
7．2.1　三角函数的定义
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
R　　R　{α|α≠kπ＋，k∈Z}
[练习]
1．解析：由＝5，得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，代入原式得＝＝－.故选A.
答案：A
2．解析：由sin α>0，则α在一、二象限，由cos α<0，则α在第二、三象限，故角α是第二象限角．故选B.
答案：B
3．解析：由题意，|OP|＝，cos α＝，又∵cos α＝－，显然x<0，∴＝－，∴x＝－4.故选A.
答案：A
4．解析：∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ异号，
故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．
答案：第三或第四
5．解析：因为P(－2，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，所以＝－(y<0)，解得y＝4(舍去)或y＝－4.
答案：－4
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)∵角α的终边经过点P(－1，－)，
∴cos α＝－＝－.故选A.
(2)角α的终边经过点P(x，－3)，由tan α＝－，
可得＝－，所以x＝4，
所以cos α＝＝，
sin α＝＝－，
所以cos α＋sin α＝＝.故选A.
(3)因为a<0，所以|a|＝－a，
因为角α的终边上有一点P(3a，4a)，
所以sin α＝＝＝－.故选D.
【答案】　(1)A　(2)A　(3)D
跟踪训练1　解析：(1)由题知P(sin 120°，tan 120°)，
即P(，－)，
因为角α的终边经过点P，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝＝－2，
sin α＋cos α＝－＝－.
故选ACD.
(2)由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝.
又因为cos θ＝x，所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1.当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3；
当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
答案：(1)ACD　(2)见解析
例2　【解析】　(1)①∵2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0，
∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
②∵191°是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°－cos 191°>0.
③∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4<0.
(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．综上可知，α为第三象限角．故选C.
【答案】　(1)见解析　(2)C
跟踪训练2　解析：(1)当x是第一象限角时，＝3≠－1，故x一定不是第一象限角；
当x是第二象限角时，＝1－1－1＝－1，即x可以是第二象限角；
当x是第三象限角时，＝－1－1＋1＝－1，即x可以是第三象限角；
当x是第四象限角时，＝－1＋1－1＝－1，即x可以是第四象限角．故选BCD.
(2)由于α为第四象限角，所以＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，所以3π＋4kπ<2α<4π＋4kπ，k∈Z，则＋kπ<<π＋kπ，k∈Z，所以2α终边落在第三、四象限以及y轴负半轴上，终边落在第二或第四象限，故B，C正确，A，D错误．故选BC.
答案：(1)BCD　(2)BC
例3　【解析】　(1)要使函数有意义，需tan x≠0，
所以x≠kπ＋，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z，
于是函数的定义域是{x|x∈R且x≠，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，需
得
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
所以函数的定义域是{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}．
跟踪训练3　解析：(1)由题意知
由y＝16－x2的图象解得16－x2≥0的解集为[－4，4]，
sin x≥0的解集为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，
结合数轴知函数定义域为[－4，－π]
(2)因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以＝＝2.故选C.
答案：(1)见解析　(2)C
能力提升练
1．解析：因为P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限内，所以即θ位于第一象限或者第三象限内，且满足sin θ>cos θ，所以当θ的终边位于第一象限时，θ∈()时，sin θ>cos θ；当θ的终边位于第三象限时，θ∈(π，)时，sin θ>cos θ.故选AB.
答案：AB
2．解析：因为∠xOM0＝，所以由2t＝，得t＝，此时d＝0，所以排除CD，当0答案：A

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