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7．2.2　单位圆与三角函数线
【课程标准】　1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.了解三角函数线的意义．
教 材 要 点
知识点一　有向线段
1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的________．
2．有向线段数量：根据有向线段与有向直线l的方向________或________，分别把它的长度添上正号和负号，这样得的数叫做有向线段的________．
3．单位圆：圆心在原点，半径等于________的圆．
知识点二　单位圆与三角函数
在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点构成的集合，角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，如图，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，则角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)．
知识点三　三角函数线
三角函数线：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝，cos α＝，tan α＝．
【学霸笔记】　三角函数线的方向是怎样确定的？
[提示]　三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．
　基 础 自 测
1．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则角α的终边在(　　)
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)
A．正弦线，正切线
B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线
D．正弦线，正切线
3．下面四个选项中大小关系正确的是(　　)
A．sin cos
C．cos 4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　)
A．(－) B．(0，)
C．(，2π) D．(0，，2π)
5．角的终边与单位圆的交点的坐标是________．
题型1三角函数线的概念
例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)－；(3)－；(4).
总结
1．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
2．作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
跟踪训练1　(1)下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
(2)作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
①； ②；
③； ④－.
题型2利用单位圆探讨三角函数的单调性
【思考探究】　1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos α，sin α)，点T的坐标为(1，tan α) 呢？
[提示]　由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y ＝tan α，所以点T的坐标为(1，tan α)．
2．如何利用三角函数线比较大小？
[提示]　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．
例2(1)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
①sin α≥；②cos α≤－.
总结　作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件和三角函数的单调性确定角α终边的范围．
(2)(多选)已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是(　　)
A．若角α，β是第一象限角，则cos α>cos β
B．若角α，β是第二象限角，则tan β>tan α
C．若角α，β是第三象限角，则cos β>cos α
D．若角α，β是第四象限角，则tan α>tan β
总结
1．通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不等式的步骤：
(1)作出取等号的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来．
2．求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
跟踪训练2　(1)函数y＝lg (2sin x－1)＋的定义域为________________．
(2)已知0≤x≤2π，且sin xA． B．()
C．(π，2π) D．
题型3三角函数线的综合应用
例3(1)若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是(　　)
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
总结　画出三角函数线，根据三角形两边之和大于第三边，即可得到答案．
(2)已知α∈(0，)，则sin α＋cos α的取值范围是________．
总结　本题可以通过三角函数的定义域确定三角函数线的范围，从而确定三角函数值的取值范围．
总结
1．本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．
2．三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．
跟踪训练3　(1)已知角α的正弦线和余弦线长度相等，且α的终边在第二象限，则tan α＝(　　)
A．0　　　B．1 C．－1　　D．
(2)已知A是△ABC的一个内角，且tan A－≥0，则sin A的取值范围是(　　)
A．[，1) B．[，1)
C．[1，] D．[]
教材反思
(1)应用三角函数线比较大小的策略
①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．
②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
(2)利用三角函数线解三角不等式的方法
①正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点，即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
②正切型不等式的解法
对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．
能 力 提 升 练
1.设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则由三角函数线可知a，b，c的大小顺序为________(用“<”连接)．
2．利用单位圆中三角函数线证明下列不等式．
(1)已知0<α<，求证：sin α<α(2)已知0<β<α<，求证：α－β>sin α－sin β.
7．2.2　单位圆与三角函数线
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．线段
2．相同　相反　数量
3．单位长度
[练习]
1．解析：因为角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，所以角α终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，所以α的终边在第二、第四象限的角平分线上．故选C.
答案：C
2．解析：根据三角函数线的定义可得，有向线段MP的值等于sin α，有向线段OM的值等于cos α，且有向线段AT的值等于tan α，因此，题图中正弦线为MP，正切线为AT，只有C项表达正确，其它各项均有错误．故选C.
答案：C
3．解析：如图，在单位圆中作出角的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT，角的正弦线D′P′、余弦线OD′、正切线AT′，由于＝π－，因此和的终边关于y轴对称，由图可得sin ＝sin >0，cos >0>cos ，tan >0>tan ，∴sin >0>cos ，∴A，C，D均错误，B正确．故选B.
答案：B
4．解析：角α的取值范围为图中阴影部分如图所示，
即(0，，2π)，故选D.
答案：D
5．解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，
∴角的终边与单位圆的交点的坐标是(－)．
答案：(－)
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　
图①
(1)作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如图①所示，
则角的正弦线为，余弦线为，正切线为.
图②
(2)作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边于T，如图②所示，
则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
图③
(3)作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边的反向延长线于T，如图③所示，
则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
图④
(4)因为＝4π＋，所以角与角的终边相同，作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边的反向延长线于T，如图④所示，
则角的正弦线为，余弦线为，正切线为.
跟踪训练1　解析：(1)由三角函数线的定义知①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如与；③中当α＝时，α与α＋π都没有正切线．
(2)①作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，
过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如图所示，
则角的正弦线为，余弦线为，正切线为.
②作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，
过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边的反向延长线于T，如图所示，
则角的正弦线为，余弦线为，正切线为.
③作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，
过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如图所示，
则角的正弦线为，余弦线为，正切线为.
④因为－＝－2π＋，所以角－与角的终边相同，
作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，
过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边的反向延长线于T，如图所示，
则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
答案：(1)C　(2)见解析
例2　【解析】　(1)①作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图1中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
②作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图2中的阴影部分)即为角α的终边的范围，
故满足条件的角α的集合为．
(2)设角α，β的终边分别为射线OP，OQ.对于A，如图1，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，OMNQ＝sin β，此时tan α＝AC，tan β＝AB，且ACNQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，且OMcos α，故C正确；对于D，如图4，sin α＝MP>NQ＝sin β，AB【答案】　(1)见解析　(2)BCD
跟踪训练2　解析：(1)要使原函数有意义，
有即
如图，在单位圆中由sin x>可知角x的终边落在由OA，OB及劣弧AB围成的区域内(不含边界)．
由cos x≤可知角x的终边落在由OC，OD及优弧CD围成的区域内(含边界)，
所以
所以原函数的定义域为[2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)．
(2)画出单位圆以及0≤x≤2π，sin x＝MP，cos x＝OM，
∵0≤x≤2π，且sin x从图中可知x的取值范围是[0，，2π].故选D.
答案：(1)[2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)　(2)D
例3　【解析】　
(1)如图，
角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α>1.故选A.
(2)如图，作出单位圆中的三角函数线，则有cos α＝OM，sin α＝MP，OP＝1，
在Rt△OPM中，|OM|＋|MP|>|OP|，∴sin α＋cos α>1，
又|OM|2＋|MP|2＝|OP|2＝1，
∴(|OM|＋|MP|)2≤2(|OM|2＋|MP|2)＝2，即|OM|＋|MP|≤，
当且仅当|OM|＝|MP|时取等号，
∴1【答案】　(1)A　(2)(1，]
跟踪训练3　解析：(1)由条件知|sin α|＝|cos α|，且sin α>0，cos α<0，
所以sin α＝－cos α，于是tan α＝－1.故选C.
(2)因为tan A－≥0，所以tan A≥，
令tan A＝，又0答案：(1)C　(2)A
能力提升练
1．解析：
如图，在单位圆O中，角的正弦线为，角的余弦线为、正切线为.由＝π－，知|＝|，又<<，所以|，所以cos 答案：b2.证明：(1)如图所示，设单位圆与x轴的正半轴的交点为N，角α的终边与单位圆的交点为A，与直线x＝1的交点为T，AM⊥x轴于点M，
则sin α＝||，tan α＝||.
连接AN，则S△OAN即ON·MA所以MA<α(2)如图所示，设角α，β的终边与单位圆分别交于P1，P2.
作P1M1⊥x轴于点M1，P2M2⊥x轴于点M2，P2C⊥P1M1于点C，
则sin α＝|，sin β＝|，α－β＝P1A－P2A＝．
连接P1P2，则α－β＝>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝|＝sin α－sin β，
即α－β>sin α－sin β.

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