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7．3.1　正弦函数的性质与图象
【课程标准】　1.掌握y＝sin x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.2.会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题.3.会利用五点作图法画出正弦函数的图象．
教 材 要 点
知识点一　正弦函数的图象
1．利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0，2π]的图象____________即可，此时的图象叫做正弦曲线．
2．“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点分别是(0，0)，____________，(π，0)，____________和(2π，0)．
3．作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接．
知识点二　正弦函数的性质
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个________，使得定义域内的________x值，都满足________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个____________函数f(x)，如果在它的________存在一个________，那么这个________就叫做它的最小正周期．
2．正弦函数的性质
函数 y＝sin x
定义域 (－∞，＋∞)
值域 [－1，1]
续表
奇偶性 奇函数
周期性 最小正周期：________
单调性 在____________________(k∈Z)上递增； 在__________________(k∈Z)上递减
最值 x＝__________________时，y最大值＝1； x＝__________________时，y最小值＝－1
【学霸笔记】　观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？正弦函数的零点又是怎样的呢？
[提示]　由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)，…，点(kπ，0)(k∈Z)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图象与x轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)，是过图象的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．另外要理解熟记，正弦函数y＝sin x的零点是kπ(k∈Z)．
基 础 自 测　
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　)
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
2．下列图象中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　)
　　　　
3．函数y＝10sin x与函数y＝x的图象的交点个数是(　　)
A．3 B．6
C．7 D．9
4．(多选)已知函数f(x)＝sin x＋1，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)是奇函数
C．f(x)的图象关于直线x＝π轴对称
D．f(x)的值域为[0，2]
5．利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
题型1正弦函数的图象
例1作函数y＝sin x，x∈[0，2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并研究它们之间的关系．
总结　可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系．
总结
1．解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，作出图象．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
3．y＝sin x±b的图象可以由y＝sin x的图象上、下平移获得．
跟踪训练1　用五点法作出函数y＝2sin (x－)在一个周期内的图象．
题型2正弦函数的单调性及应用
例2(1)比较下列各组数的大小．
①sin 194°和cos 160°；
②sin 和cos ；
③sin (sin )和sin (cos )．
总结　先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
(2)令a＝sin (－)，b＝sin (－)，判断a与b的大小关系是(　　)
A．a>b B．aC．a＝b D．无法判断
总结
1．求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性．
2．比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．
跟踪训练2　(1)下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°(2)若a＝sin ，b＝sin ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．a题型3正弦函数的值域与最值问题
【思考探究】　函数y＝A sin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b 吗？
[提示]　不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.
例3(1)函数y＝3sin x＋2(－≤x≤0)的最大值为(　　)
A．2 B．5
C．8 D．7
(2)求函数y＝3＋2sin (2x－)的值域．
(3)求函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域．
总结　(2)用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．
(3)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y的取值范围．
总结
将正弦函数y＝sin x当作整体，利用换元法(令t＝sin x)将含有正弦函数的表达式简化，结合基本初等函数的单调性求值域．三角函数值域的常见类型有：
(1)形如y＝a sin x＋b型：可利用正弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型：可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
(3)分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法．
跟踪训练3　(1)函数f(x)＝的值域为(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－2]
(2)求y＝2sin (2x＋)(－≤x≤)的最大值和最小值．
(3)已知函数f(x)＝2cos2x－1＋4sinx，求f(x)的最大值．
题型4正弦函数有关的零点问题
例4函数f(x)＝sin x－lg x零点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
总结　首先要在坐标系中画出两个函数y＝sin x和y＝lg x的图象，然后根据图象在定义域内交点的个数问题来研究函数f(x)＝sin x－lg x的零点问题．
总结
图象法研究正弦函数的零点问题的求解策略
(1)单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数．
(2)两个函数图象问题：将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0 h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．
跟踪训练4　方程sin x＝x的实数解的个数为(　　)
A．1 B．3
C．5 D．7
教材反思
(1)“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点
①“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出正弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐．
②“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
(2)正弦函数周期性的释疑
由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
(3)正弦函数的奇偶性
①正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称．
②正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
(4)正弦函数单调性的说明
①正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
②求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
③确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
(5)正弦函数最值的释疑
①明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.
②对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要根据函数定义域来决定．
易错点　忽略自变量的范围而出错
例　设|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值．
【错解】　f(x)＝cos2x＋sinx
＝1－sin2x＋sinx
＝＋.
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
∴当sin x＝－1时取得最小值－1.
【正解】　f(x)＝cos2x＋sinx
＝1－sin2x＋sinx＝＋.
∵|x|≤，
∴－≤sin x≤，
∴当sin x＝－时取得最小值为.
【易错点】
错误原因 纠错心得
忽略了自变量的范围． 要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．
能 力 提 升 练
1.已知函数f(x)＝sin x·log2(＋x)(a>0)为偶函数，则a＝________．
2．已知关于x的方程cos2x－sinx＋2a＝0在(0，]内有解，那么实数a的取值范围为__________．
7．3.1　正弦函数的性质与图象
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．沿x轴平移±2π，±4π，…
2．(，1)　(，－1)
知识点二
1．(1)非零常数T　每一个　f(x＋T)＝f(x)　
(2)周期　所有周期中　最小的正数　最小的正数
2．2π　[2kπ－，2kπ＋]　[2kπ＋，2kπ＋]　2kπ＋(k∈Z)　2kπ－(k∈Z)
[练习]
1．解析：观察y＝sin x图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B.
答案：B
2．解析：由y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象作关于x轴对称的图象，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D.
答案：D
3．解析：y＝10sin x的最小正周期是2π，y＝10sin x∈[－10，10]，y＝x∈[－10，10]时，x∈[－10，10]，作出函数y＝10sin x和y＝x的图象如图，只要观察x∈[－10，10]的图象，由图象知它们有7个交点，故选C.
答案：C
4．解析：对于A，由正弦型函数的性质，可得f(x)的最小正周期为T＝＝2π，所以A正确；对于B，由f(－x)＝－sin x＋1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，所以B错误；对于C，由f(π)＝sin π＋1＝1不是函数f(x)的最值，所以f(x)的图象不关于x＝π轴对称，所以C错误；对于D，由－1≤sin x≤1，可得0≤sin x＋1≤2，所以函数f(x)的值域为[0，2]，所以D正确．故选AD.
答案：AD
5．解析：取值列表：
描点连线，如图所示．
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　按五个关键点列表：
利用正弦函数的性质描点作图，如图，
由图象可以发现，把y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的图象．
跟踪训练1　解析：列表如下：
描点连线，可得函数图象如下：
例2　【解析】因为函数y＝sin x在(－，0)上单调递增，且－<－<－<0，所以a＝sin (－)【答案】B
跟踪训练2　解析：(2)因为y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin sin ，所以b答案：C
　(2)
例3　【解析】(3)y＝1－2sin2x＋sinx，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2(t－)2＋.
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域为[－2，].
【答案】　A
　(2)(3)见解析
跟踪训练3　解析：(3)函数f(x)＝2cos2x－1＋4sinx
＝2(1－sin2x)－1＋4sinx
＝－2sin2x＋4sinx＋1
＝－2(sin x－1)2＋3，
当sin x＝1时，f(x)有最大值3.
答案：B
　(2)(3)见解析
例4　【解析】　画出函数y＝sin x和y＝lg x的图象，其中x>0，如图，
由图可知，
当00，lg x<0，两函数图象没有交点；
当1≤x≤10时，两函数图象有3个交点；
当x>10时，lg x>1≥sin x，两函数图象没有交点．
综上，函数y＝sin x和y＝lg x的图象有3个交点，
所以函数f(x)＝sin x－lg x零点的个数为3.故选C.
【答案】　C
跟踪训练4　解析：方程sin x＝x的实数解的个数为函数y＝sin x与y＝x的图象的交点个数，
如图所示，
由图可知函数y＝sin x与y＝x的图象只有一个交点，
且此时x＝0，即方程sin x＝x的实数解为x＝0，
故方程sin x＝x的实数解的个数为1，故选A.
答案：A
能力提升练
1．解析：因为函数f(x)＝sin x·log2(＋x)(a>0)为偶函数，y＝sin x为奇函数，所以g(x)＝log2(＋x)(a>0)为奇函数，
由g(－x)＋g(x)＝0得log2(－x)＋log2(＋x)＝log2a＝0，所以a＝1.
答案：1
2．解析：因为关于x的方程cos2x－sinx＋2a＝0在(0，]内有解，
所以2a＝sin x－cos2x在(0，]内有解，
令f(x)＝sinx－cos2x，x∈(0，]，
f(x)＝sin2x＋sinx－1＝(sin x＋)2－，
因为x∈(0，]，所以0所以f(0)所以－1所以－1<2a≤1，得－即实数a的取值范围为(－].
答案：(－]

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