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8．2.1　两角和与差的余弦
【课程标准】　1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用.2.能利用两角和与差的余弦公式进行化简求值.3.两角和与差的公式的逆用、变形用．
教 材 要 点
知识点　两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos (α＋β)＝____________________．
Cα－β：cos (α－β)＝____________________．
【公式理解】
(1)公式中的α，β是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合；
(2)两公式间的联系：Cα－βCα＋β；
(3)要掌握公式的逆用：cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)·sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α；
(4)注意公式的结构特征和符号规律：记忆口诀“余余正正号相反”．
【学霸笔记】　用向量法推导两角差的余弦公式时，角α，β终边与单位圆交点P1，P2的坐标是怎样得到的？
[提示]　依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α ＝，cos α ＝，所以x ＝cos α，y ＝sin α，即点P的坐标为(cos α，sin α)．
基 础 自 测
1.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°＝(　　)
A． B．
C． D．
2．化简cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝(　　)
A．sin (2α＋β) B．cos (2α－β)
C．cos α D．cos β
3．(多选)下列选项中能满足cos αcos β＝＋sin αsin β 的是(　　)
A．α＝ B．α＝
C．α＝ D．α＝
4．已知sin α＝，α∈，则cos ＝________．
5．＝________．
题型1利用两角和与差的余弦公式化简求值
例1(1)cos 345°＝(　　)
A． B．
C． D．－
利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．
(2)化简下列各式：
①cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)；
②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
(3)设3：30时刻，时针和分针所夹的角为θ，则cos θ＝(　　)
A．0 B．
C． D．
总结
1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时，常将两角的和或差视为一个整体．
2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
跟踪训练1　求下列各式的值：
(1)cos ；
(2)sin 460°sin (－160°)＋cos 560°cos (－280°)；
(3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)sin (40°－α)．
题型2给值(式)求值
例2(1)cos 80°－2sin 160°sin 80°＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)α，β为锐角，cos (α＋β)＝，cos (2α＋β)＝，求cos α的值．
总结　(1)可先将80 °转化为160 °－80 °，再用两角差的余弦公式求解即可；
(2)可考虑拆角即α ＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α.
总结
给值求值的解题步骤：
(1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异．
(2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)，α＝[(β＋α)－(β－α)等．
(3)求解．结合公式Cα±β求解便可．
跟踪训练2　若0<α<，0<β<，cos (α＋β)＝cos β＝，则cos ＝________．
题型3已知三角函数值求角
例3已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
总结　本题可先求出cos (α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．
总结
1．这类问题的求解，关键环节有两点：
(1)求出所求角的某种三角函数值；
(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，即可求解．
2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．
跟踪训练3　设α，β，γ∈，且sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则β－α＝(　　)
A．－ B．
C．或－ D．
题型4利用角的变换求三角函数值
【思考探究】　(1)若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
[提示]　cos α ＝cos [(α＋β)－β]
＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β.
(2)利用α－(α－β) ＝β可得cos β等于什么？
[提示]　cos β ＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)．
(3)若cos α－cos β ＝a，sin α－sin β ＝b，则cos (α－β)等于什么？
[提示]　cos (α－β) ＝.
例4(1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α＋β)＝，则cos β＝(　　)
A． B．
C．或 D．或
(2)若0<α<<β<0，cos ＝＝，则cos ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
总结　(1)考虑如何用已知角α，α＋β的差来表示所求角β，进而利用两角差的余弦公式解决．
(2)利用角的交换求解，α＋＝－.
总结
巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角．主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察．
常见的“变角”有：(1)单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝等；
(2)倍角化为和差角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
跟踪训练4　(1)设cos ＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，求cos 的值．
(2)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，－sin β)，α，β均为锐角，且|a－b|＝.
①求cos (α＋β)的值；
②若sin α＝，求cos β的值．
总结　(1)根据向量的坐标运算求出模长，然后逆用两角和的余弦公式求解．
(2)将所求角用已知角表示出来，然后利用两角差的余弦公式求解．
能 力 提 升 练
1.如图，角α的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，将角α的终边绕着原点O逆时针旋转得到角β，则cos β＝________．
2．在△ABC中，B＝，且cos A＋cos C＝－2·cos A cos C，则cos ＝________．
教材反思
对公式Cα－β和Cα＋β的三点说明
(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β.
(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos (α－β)－cos α cos β＝sin αsin β.
②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos [(α＋β)－β]等．
8．2.1　两角和与差的余弦
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
cos αcos β－sin αsin β　cos αcos β＋sin αsin β
[练习]
1．解析：原式＝cos (22°＋38°)＝cos 60°＝.
答案：A
2．解析：原式＝cos [(α＋β)－β]＝cos α.
答案：C
3．解析：由两角和的余弦公式，得cos (α＋β)＝，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)或α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，所以A，B正确，C，D错误．故选AB.
答案：AB
4．解析：因为sin α＝，α∈(，π)，所以cos α＝－，
则cos (α＋)＝cos α－sin α＝×(－)－＝.
答案：
5．解析：＝
＝＝
＝
＝＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)cos 345°＝cos (360°－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.故选C.
(2)①原式＝cos [(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝，所以原式＝.
②原式＝－sin (180°－13°)sin (180°＋43°)＋sin (180°＋77°)·sin (360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos (13°－43°)＝cos (－30°)＝.
(3)因为时针每12小时转动360°，所以每小时转360°×＝30°，即钟表的一大格的夹角是30°，
而3：30时刻，时针和分针相差2.5个大格，
所以3：30时刻，时针和分针所夹的角的度数是2.5×30°＝75°，
则cos θ＝cos 75°＝cos (45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°·sin 30°＝＝.
故选C.
【答案】　(1)C　(2)见解析　(3)C
跟踪训练1　解析：(1)cos ＝cos (π＋)＝－cos
＝－cos ()＝－cos ()
＝－(cos cos ＋sin sin )
＝－()＝－.
(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cos 60°＝－.
(3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)·sin (40°－α)
＝cos [(α＋20°)＋(40°－α)]
＝cos 60°＝.
例2　【解析】　(1)cos 80°－2sin 160°sin 80°＝cos (160°－80°)－2sin 160°sin 80°＝cos 160°cos 80°－sin 160°sin 80°＝cos (160°＋80°)＝cos 240°＝－cos 60°＝－.故选A.
(2)因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又因为cos (α＋β)＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π.
又因为cos (2α＋β)＝，所以0<2α＋β<，
所以sin (α＋β)＝，sin (2α＋β)＝，
所以cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos (2α＋β)·cos (α＋β)＋sin (2α＋β)·sin (α＋β)
＝＝.
【答案】　(1)A　(2)见解析
跟踪训练2　解析：由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π，而cos (α＋β)＝－，cos β＝，
则sin (α＋β)＝＝，sinβ＝＝，
因此cosα＝cos [(α＋β)－β]＝－＝，sin α＝＝，
所以cos(＋α)＝cos cos α－sin sin α＝)＝－.
答案：－
例3　【解析】　∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝
＝.
又sin α∴0<α<β<，
∴－<α－β<0，
故α－β＝－.
跟踪训练3　解析：由sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，
得sin γ＝sin α－sin β，cos γ＝cos β－cos α，
平方得(sin γ)2＝(sin α－sin β)2＝(sin α)2＋(sin β)2－2sin αsin β，
(cos γ)2＝(cos β－cos α)2＝(cos α)2＋(cos β)2－2cos αcos β，
相加得1＝2－2cos (β－α)，即cos (β－α)＝，
又由α，β，γ∈(0，)，sin γ＝sin α－sin β>0知，sin α>sin β，则α>β，即β－α<0，
故β－α＝－，故选A.
答案：A
例4　【解析】　(1)依题意得sin α＝＝，
cos(α＋β)＝±＝±.
又α，β均为锐角，
所以0<α<α＋β<π，cosα>cos (α＋β)．
因为>>－，所以cos (α＋β)＝－.
于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－＝.
(2)∵0<α<，－<β<0，
∴<α＋<<<，
又∵cos (＋α)＝，cos ()＝，
∴sin (＋α)＝，sin ()＝，
∴cos (α＋)＝cos [(＋α)－()]
＝cos (＋α)cos ()＋sin (＋α)sin ()
＝＝.故选C.
【答案】　(1)A　(2)C
跟踪训练4　解析：(1)∵α∈(，π)，β∈(0，)，
∴α－∈(，π)，－β∈(－)，
∴sin (α－)＝ ＝＝，cos(－β)＝ ＝＝，
∴cos ＝cos [(α－)－(－β)]
＝cos (α－)cos (－β)＋sin (α－)sin (－β)
＝－＝.
(2)①由题意得|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)
＝2－2cos (α＋β)＝，解得cos (α＋β)＝.
②因为α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)，
由sin α＝，cos (α＋β)＝，可得cos α＝，sin (α＋β)＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝＝.
能力提升练
1．解析：由题意知角α的始边与单位圆相交于点P()，
故sin α＝，cos α＝，
将角α的终边绕着原点O逆时针旋转得到角β，
则cos β＝cos (α＋)＝cos αcos －sin αsin ＝－＝－.
答案：－
2．解析：设α＝，则A－C＝2α，因为A＋C＝π－B＝，
所以A＝＋α，C＝－α.
由已知可得cos (＋α)＋cos (－α)＝－2cos (＋α)cos (－α)，所以2cos cos α＝－2[(cos ·cos α)2－(sin sin α)2]，
所以2cos2α＋cosα－＝0，解得cos α＝或cos α＝－<－1(舍)．
答案：

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