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8．2.2　第1课时　两角和与差的正弦
【课程标准】　1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换．
教 材 要 点
知识点一　两角和与差的正弦公式
1．Sα＋β：sin (α＋β)＝______________________．
2．Sα－β：sin (α－β)＝______________________．
【公式理解】
1．角α，β都是任意角；
2．两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即sin (α±β)≠sin α±sin β；
3．注意公式的变形运用
(1)逆用：如sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α；
(2)变形运用：变形运用涉及两个方面，一是公式的变形，如sin (α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；第二是角的变形运用，即角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
知识点二　辅助角公式
y＝a sin x＋b cos x＝____________sin (x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________.
【学霸笔记】　根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？
[提示]　对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．
基 础 自 测
1.cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°＝(　　)
A． B．
C． D．以上都不对
2．已知cos α＝，α∈，角β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点且β∈(0，π)，则α－β＝(　　)
A．　　　B．－ C．　　　D．－
3．计算sin ＝(　　)
A． B．
C． D．－
4．已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos (π＋β)＝－，则sin (α＋β)＝________．
5．已知点P(3，4)是角α的终边上一点，则sin ＝________．
题型1利用公式化简求值
例1(1)＝(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
(2)计算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝________．
(3)求sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)的值．
总结　(1)化简求值应注意公式的逆用．
(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
总结
1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
跟踪训练1　(1)计算＝________．
(2)化简－2cos (α＋β)．
题型2给值(式)求值
例2(1)设α∈，β∈，若cos α＝sin β＝，求sin (α＋β)的值．
(2)已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β均为锐角．
①求sin (2α＋β)；②求β.
跟踪训练2　已知α∈，β∈，sin ＝，sin ＝，则sin ＝________．
总结
“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(1)把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝＝－等．
提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
题型3辅助角公式的应用
【思考探究】　(1)函数y＝sin x＋cos x(x∈R)的最大值为2对吗？为什么？
[提示]　不对．因为sin x＋cos x
＝sin x ＋
＝＋cos x·sin)
＝sin ，
所以函数的最大值为.
(2)函数y＝3sin x ＋4cos x的最大值等于多少？
[提示]　因为y ＝3sin x＋4cos x
＝5(sin x ＋)，
令cos φ＝，sin φ＝，
则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝5sin (x＋φ)，
所以函数y的最大值为5.
(3)如何推导a sin x ＋b cos x＝sin (x ＋φ)公式？
[提示]　a sin x ＋b cos x
＝sin x ＋，
令cos φ ＝，sin φ ＝，则
a sin x ＋b cos x ＝(sin x cos φ ＋cos x sin φ)＝
sin (x ＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ ＝确定，或由sin φ ＝和cos φ ＝共同确定)．
例3(1)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间是(　　)
A．[，kπ＋](k∈Z)
B．[，2kπ＋](k∈Z)
C．[，kπ＋](k∈Z)
D．[，2kπ＋](k∈Z)
(2)设函数f(x)＝sin x＋sin .
①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
②不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到．
总结　辅助角公式?转化成“一角一函数”的形式?将所给函数展开与合并．
跟踪训练3　(1)已知a＝，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期、值域、单调递增区间．
总结　解答此类问题的关键是巧妙构建公式Cα－β，Cα＋β，Sα－β，Sα＋β的右侧， 逆用公式化成一个角的一种三角函数值．
(2)把下列各式化为A sin (α＋φ)(A>0)的形式：
①(sin x－cos x)；
②sin ＋cos ；
③3sin x＋3cos x．
总结
辅助角公式的应用
(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝ sin (α＋φ)或a sin α＋b cos α＝cos (α－φ)将形如a sin α＋b cos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：对于正弦或余弦，要看已知条件而定，变形后角α的系数为正，有利于研究函数的性质．
教材反思
(1)两角和与差的正弦公式的结构特点
①公式中的α，β均为任意角．
②两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．
③两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
(2)两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
(3)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式．
能 力 提 升 练
1.已知f(x)＝sin x＋2cos x，当x＝θ时，f(x)取得最大值，则tan θ＝________．
2．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈，则sin (2α－β)＝________，β＝________．
8．2.2　第1课时　两角和与差的正弦
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．sin αcos β＋cos αsin β
2．sin αcos β－cos αsin β
知识点二
[练习]
1．解析：原式＝sin (13°＋17°)＝sin 30°＝.
答案：A
2．解析：因为角β的终边经过点P()，所以cos β＝，sin β＝，又cos α＝，α∈(0，)，所以sin α＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝＝，因为β∈(0，π)，α∈(0，)，所以α－β∈(－π，)，所以α－β＝.故选A.
答案：A
3．解析：sin (－)＝－sin ＝－sin ()＝－(sin ·cos ＋cos sin )＝－()＝－.故选D.
答案：D
4．解析：∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.又β为第四象限角，且cos (π＋β)＝－cos β＝－，∴cos β＝，sin β＝－，∴sin (α＋β)＝×(－)＝0.
答案：0
5．解析：因为点P(3，4)是角α终边上一点，
所以cos α＝＝，sin α＝＝，
所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
(2)sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin (50°＋10°)＝sin 60°＝.
(3)sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°＋60°)＋cos (θ＋15°＋30°)－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°)cos 60°＋cos (θ＋15°)sin 60°＋cos (θ＋15°)cos 30°－sin (θ＋15°)sin 30°－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)－sin (θ＋15°)－cos (θ＋15°)＝0.
【答案】　(1)C　(2)　(3)见解析
跟踪训练1　解析：(1)因为sin 68°＝sin 60°cos 8°＋cos 60°sin 8°，cos 68°＝cos 60°cos 8°－sin 60°sin 8°，
所以＝＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
答案：(1)　(2)见解析
例2　【解析】　(1)因为α∈(，π)，cos α＝－，
所以sin α＝，
因为β∈(，2π)，sin β＝－，
所以cos β＝，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝＋(－)×(－)＝.
(2)①因为α，β∈(0，)，sin α＝，
所以cos α＝＝.
又因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以sin(2α＋β)＝sin (α＋α＋β)
＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)
＝×(－)＋＝－.
②sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝＝＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝.
跟踪训练2　解析：∵α∈(0，)，β∈(－，0)，
∴α＋∈()，∈()，
∵sin (α＋)＝，sin ()＝，
∴cos (α＋)＝，cos ()＝，
∴sin (α＋)＝sin ＝sin (α＋)cos ()－cos (α＋)sin ()＝＝.
答案：
例3　【解析】　(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)①f(x)＝sin x＋sin x cos ＋cos x sin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝(sin x cos ＋cos x sin )＝sin (x＋)，
当sin (x＋)＝－1时，f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的最小值为－，
x的集合为{x|x＝＋2kπ，k∈Z}．
②将y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图象，
然后将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin (x＋)的图象．
【答案】　(1)A　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)f(x)＝sin x－cos x
＝2(sin x·－cos x·)
＝2(sin x cos －cos x sin )
＝2sin (x－)，
所以T＝＝2π，值域为[－2，2].
由－＋2kπ≤x－＋2kπ，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
(2)①(sin x－cos x)＝·(sin x·－cos x·)＝2(sin x cos －cos x sin )＝2sin (x－)．
②sin (－x)＋cos (－x)＝sin (－x)＋cos (－x)]＝sin (－x＋)＝sin (－x)．
③3sin x＋3cos x＝6sin x＋cos x)＝6sin (x＋).
能力提升练
1．解析：令cos α＝，sin α＝，其中α为锐角，
则f(x)＝sin x＋2cos x＝sin x＋cos x)＝(sin x cos α＋cos x sin α)＝sin (x＋α)，
因为当x＝θ时，f(x)取得最大值，则θ＋α＝2kπ＋(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，
所以sin θ＝sin (2kπ＋－α)＝cos α＝，
cos θ＝cos (2kπ＋－α)＝sin α＝，故tan θ＝＝·＝.
答案：
2．解析：因为α，β∈(0，)，所以α－β∈(－)，
又sin (α－β)＝>0，所以0<α－β<，
所以sin α＝，cos (α－β)＝，所以sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)]＝sin α·cos (α－β)＋cos α·sin (α－β)＝
＝.
又cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos (α－β)＋sin α·sin (α－β)＝
＝，
又β∈(0，)，所以β＝.
答案：8．2.2　 第2课时　两角和与差的正切
【课程标准】　1.能从两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换．
教 材 要 点
知识点一　两角和的正切公式
Tα＋β：tan (α＋β)＝________________________．
知识点二　两角差的正切公式
Tα－β：tan (α－β)＝________________________．
注意：Tα±β公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围．
【学霸笔记】　你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？
[提示]　(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 ?tan αtan β)．
(2)1 ?tan αtan β＝.
(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)．
注意：当α±β为特殊角时，常考虑使用变形(1)，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形(2)．
基 础 自 测
1.tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
2．＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．设角θ的终边过点(2，3)，则tan ＝(　　)
A．　　　B．－　　　C．5　　　D．－5
4．设tan α＝，tan β＝，且角α，β为锐角，则α＋β＝________．
5．已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，则tan 2α＝________．
题型1利用公式化简求值
例1求下列各式的值：
(1)tan 15°；
(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
总结　把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
总结
1．公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
跟踪训练1　(1)求的值．
(2)计算：(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝________．
(3)α＋β＝－，则1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
题型2条件求值(角)问题
例2如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为.
(1)求tan (α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
总结　先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α， tan β，然后利用Tα＋β求tan (α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan (α＋2β)进而得到α＋2β的值．
总结
1．通过先求角的某个三角函数值来求角．
2．选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
3．给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
跟踪训练2　(1)若α，β为锐角，tan α＝4，cos (α＋β)＝－，则角β＝________．
(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．
题型3公式的变形应用
【思考探究】　(1)判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示]　根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
(2)在△ABC中，tan (A＋B)与tan C有何关系？
[提示]　根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π，
∴A＋B ＝π－C，
∴tan (A＋B) ＝tan (π－C) ＝－tan C．
例3已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且＋tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．
总结　→.
跟踪训练3　(1)(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－＝－，且tan A＋1＝tan A tan B”，结果如何？
(2)已知tan (α＋β)＝，tan ＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
总结
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan ；
tan .
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．
能 力 提 升 练
1.(多选)若0<α<β<，且cos αcos β＝，tan αtan β＝，则(　　)
A．cos (α＋β)＝ B．sin (α－β)＝－
C．cos 2α＝ D．β<
2．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知点A，B的横坐标分别为.
(1)求tan (α－β)的值；
(2)求的值．
教材反思
1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征
(1)由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
2．两角和与差的正切公式的变形
变形公式如：tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α tan β)；
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan α tan β)；
tan α tan β＝1－等．
8．2.2　第2课时　两角和与差的正切
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
知识点二
[练习]
1．解析：tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.
答案：D
2．解析：原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.
答案：D
3．解析：由于角θ的终边过点(2，3)，因此tan θ＝，故tan (θ－)＝＝＝.故选A.
答案：A
4．解析：∵tan α＝，tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1，
又∵α，β均为锐角，即α，β∈(0，)，
∴0<α＋β<π，则α＋β＝.
答案：
5．解析：已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，
则tan 2α＝tan ＝＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)tan 15°＝tan (45°－30°)
＝
＝＝＝2－.
(2)＝
＝
＝tan (30°－75°)＝tan (－45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)∵tan (23°＋37°)＝tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
跟踪训练1　解析：(1)原式＝＝＝
tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)因为tan 45°＝tan [θ＋(45°－θ)]＝＝1，
整理得tan θtan (45°－θ)＋[tan θ＋tan (45°－θ)]＝1，
则(1＋tan θ)[1＋tan (45°－θ)]＝tan θtan (45°－θ)＋[tan θ＋tan (45°－θ)]＋1＝2，
所以(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)
＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)]
＝2×…×2＝222，
即(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)＝222.
(3)因为α＋β＝－，
所以tan (α＋β)＝＝tan (－)＝－1，
所以tan α·tan β＝1＋(tan α＋tan β)，
所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝1－tan α－tan β＋1＋(tan α＋tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋1＋(tan α＋tan β)＝2.故选A.
答案：(1)见解析　(2)222　(3)A
例2　【解析】　由条件得cos α＝，cos β＝，
∵α，β为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴tan α＝7，tan β＝.
(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
跟踪训练2　解析：(1)由于α，β为锐角，所以0<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝－，
所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝，所以β＝.
(2)由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，
所以tan (α＋β)＝＝＝1.
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：(1)　(2)见解析
例3　【解析】　由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan (B＋C)
＝
＝＝－.
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝＝＝，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，∴B＝30°，
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
跟踪训练3　解析：(1)由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝＝.
又0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝＝＝.
又0°所以C＝60°，所以B＝60°，
所以△ABC是等边三角形．
(2)因为tan (α＋β)＝，tan (β－)＝，
所以tan (α＋)＝tan [(α＋β)－(β－)]＝＝＝，故选B.
答案：(1)见解析　(2)B
能力提升练
1．解析：由题意可得sin αsin β＝cos αcos βtan αtan β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，故A错误；
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
因为0<α<β<，所以－<α－β<0，
所以sin (α－β)＝－＝－，故B正确；
因为0<α<β<，所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝，故C错误；
cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝，即cos 2β＝>>－＝cos ，
因为0<β<，所以0<2β<π，
故2β<，所以β<，故D正确．故选BD.
答案：BD
2．解析：(1)根据三角函数的定义得cos α＝，cos β＝，
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan (α－β)＝＝＝.
(2)＝·＝tan [(α－β)＋β]＝tan α＝×2＝.

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