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8．2.3　倍角公式
【课程标准】　1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
教 材 要 点
知识点一　倍角公式
S2α：sin 2α＝____________．
C2α：cos 2α＝____________＝____________＝____________.
T2α：tan 2α＝____________．
【倍角公式注意点】由三角函数的定义知，S2α，C2α中的角α是任意的，但要使T2α有意义，需要α≠＋ (k∈Z)．
【学霸笔记】　你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
[提示]　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的倍角，8α是4α的倍角，是的倍角等等．
知识点二　倍角公式的变换
1．因式分解变换
cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)．
2．配方变换
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2.
3．升幂缩角变换
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
4．降幂扩角变换
cos2α＝(1＋cos2α)，sin2α＝(1－cos2α)，sin αcos α＝sin 2α.
基 础 自 测
1.sin 15°sin 75°＝(　　)
A． B． C． D．
2．设sin θ－cos θ＝2,3，则sin 2θ＝(　　)
A． B． C．－ D．－
3．(cos－sin )(cos＋sin )＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
4．－2cos 10°＝(　　)
A． B． C． D．2
5．若cos (－α)＝10,5，则cos (＋2α)＝________．
题型1利用倍角公式化简求值
例1化简求值．
灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得．
(1)cos4－sin4；
(2)sin ·cos ·cos ；
(3)1－2sin2750°；
(4) ．
总结
倍角公式的灵活运用
1．公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sinαcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
2．公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝．
跟踪训练1　求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)2sin2＋1；
(3)cos20°cos 40°cos 80°；
(4).
题型2利用倍角公式解决条件求值问题
例2(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α＝(　　)
A．2 B．－2
C．3,4 D．－3,4
(2)已知sin (＋α)＝，则cos (－2α)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
(3)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈(，π).
①求sin 2α的值；②求cos (2α＋β)的值．
总结　(1)可先求tan α，再求tan 2α；
(2)可利用π－2α＝2(－α)求值；
(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos (2α＋β)．
总结
直接应用倍角公式求值的三种类型
1．
2．
3．
跟踪训练2　(1)计算：2·sin 40°·sin 80°,cos 40°＋cos 60°＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)已知α，β∈(0，π)，且cos α＝5,5，sin (α＋β)＝－2,10，则cos (3α＋β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
题型3利用倍角公式证明
例3求证：＝sin 2α.
总结　可先化简左边，切化弦，再利用倍角公式化简出右边．
总结
证明问题的原则及一般步骤
1．观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
2．证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
跟踪训练3　已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β，求证：4cos22α＝cos22β.
题型4倍角公式的灵活运用
【思考探究】　(1)在化简 ＋时，如何灵活使用倍角公式？
[提示]　在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α,2的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝
(2)如何求函数f(x)＝2cos2x－1－23sinx cos x(x∈R)的最小正周期？
[提示]　求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cos2x－1)－3(2sinx cos x)＝cos 2x－3sin 2x＝2sin (π,6－2x)，知其最小正周期为π.
例4(1)化简：．
(2)求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinx cos x，x∈[]的最小值，并求其单调递减区间．
总结　化简f(x)的解析式→f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B →ωx＋φ的范围→求最小值，单调递减区间
总结
本题考查倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质．解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝A sin (ωx＋φ)的形式，再利用函数图象解决问题．
跟踪训练4　设函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2sin2x－．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈(，)时，求函数f(x)的值域．
教材反思
(1)对于“倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；是的二倍；是的二倍．
(2)倍角的余弦公式的运用
在倍角公式中，倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：
①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝；③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝．
能 力 提 升 练
1.＝________．
2．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋1－2cos2()(ω>0，|φ|<)为奇函数，且f(x)的最小正周期是π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈(0，π)时，求满足方程f2(x)＋f(x)－2＝0的x的值．
温馨提示：请完成课时作业(十八)
8．2.3　倍角公式
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　
[练习]
1．解析：原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
答案：B
2．解析：由sin θ－cos θ＝，
平方可得(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcos θ＝1－sin 2θ＝，解得sin 2θ＝.故选A.
答案：A
3．解析：原式＝cos2－sin2＝cos＝.
答案：D
4．解析：－2cos 10°＝－2cos 10°
＝＝
＝＝＝.故选A.
答案：A
5．解析：由题意得cos (＋2α)＝cos ＝－cos 2(－α)＝1－2cos2(－α)＝1－2×()2＝．
答案：
课堂探究·素养提升
例1　【解析】
（1）cos4－sin4
＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)
＝cosα.
（2）原式＝(2sin cos )cos
＝sin cos ＝(2sin cos )
＝sin ＝.
（3）原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500°
＝cos (4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
（4）＝·＝·tan45°＝.
跟踪训练1　解析：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝－(1－2sin2)＋2＝2－cos＝.
(3)原式＝
＝
＝＝＝.
(4)原式＝＝＝2.
例2　【解析】　(1)因为sin α＝3cos α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝＝＝－.
(2)因为cos (－α)＝sin [－(－α)]＝sin (＋α)＝，
所以cos (－2α)＝2cos2(－α)－1＝2×()2－1＝－.
(3)①因为α是第三象限角，cosα＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin2α＝2sin αcos α＝2×(－)×(－)＝.
②因为β∈(，π)，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×(－)－＝－.
【答案】　(1)D　(2)C　(3)见解析
跟踪训练2　解析：(1)因为
＝
＝
＝＝＝，
所以原式＝.故选C.
(2)∵α∈(0，π)，cosα＝>0，∴α∈(0，)，2α∈(0，π)，
∴sin α＝＝，cos2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝2sin αcos α＝，
又cos 2α＝－<0，故2α∈(，π)，α∈()，
∵α∈()，β∈(0，π)，α＋β∈()，sin (α＋β)＝－<0，
故α＋β∈(π，)，则cos (α＋β)＝－＝－，
cos(3α＋β)＝cos (α＋β＋2α)＝cos (α＋β)cos 2α－sin (α＋β)·sin 2α＝＝.故选C.
答案：(1)C　(2)C
例3　【证明】　方法一
左边＝＝＝
＝＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
方法二　左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
跟踪训练3　证明：因为sin2θ＋cos2θ＝1，可得(sinθ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
把sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin2β代入得4sin2α＝1＋2sin2β，即4(1－cos2α)＝1＋2(1－cos2β)，
整理得4cos2α＝1＋2cos2β，所以4cos2α－2＝－1＋2cos2β，所以2cos2α＝cos 2β，
两边平方可得4cos22α＝cos22β.
例4　【解析】　(1)
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝cos 2x.
(2)f(x)＝5··－2sin 2x
＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋4(cos 2x－sin 2x)
＝3＋4(sin cos 2x－cos sin 2x)
＝3＋4sin (－2x)＝3－4sin (2x－)，
∵≤x≤，∴≤2x－，
∴sin (2x－)∈[]，
∴当2x－＝，即x＝时，f(x)取最小值为3－2.
∵y＝sin (2x－)在[]上单调递增，
∴f(x)在[]上单调递减．
跟踪训练4　解析：(1)f(x)＝1＋sin 2x＋2＝1＋sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－)＋1，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
则函数单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)由则－则1－能力提升练
1．解析：原式＝＝
＝
＝＝－4.
答案：－4
2．解析：(1)由题意可得f(x)＝sin (ωx＋φ)＋1－2cos2()＝sin(ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝2sin (ωx＋φ－)，
因为f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2，
又f(x)为奇函数，则φ－＝kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝2sin 2x.
(2)由f2(x)＋f(x)－2＝0，即(f(x)－1)(f(x)＋2)＝0，则f(x)＝1或f(x)＝－2，
所以2sin 2x＝1或2sin 2x＝－2，即sin 2x＝或sin 2x＝－1．
因为x∈(0，π)，所以2x∈(0，2π)，则2x＝或2x＝或2x＝，
所以x＝或或.

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